向量的乘法运算(II)

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1、第七章第三节机动目录上页下页返回结束向量的乘法运算二、两向量的向量积一、两向量的数量积二、向量的混合积启示两向量作这样的运算,结果是一个数量.一、两向量的数量积机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明：结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的投影的乘积.由数量积的定义机动目录上页下页返回结束数量积在几何上的一个解释：数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（3）分配律：（2）结合律：机动目录上页下页返回结束分配律的证明：设数量积的坐标表达式机动目录上页下页返回结束——两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为

2、机动目录上页下页返回结束（A）机动目录上页下页返回结束（B）（C）解:证明：如图机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束二、两向量的向量积向量积也称为“叉乘积”或“外积”。机动目录上页下页返回结束说明：向量积符合下列运算规律：（1）反交换律：（3）分配律：（2）结合律：引理ca将矢量a一投一转（转900），证明引入证毕(a+b)c=(ac)+(bc)c03.证明向量积的分配律:两向方向:一致；a2

3、a2

4、=

5、a1

6、a2得a2机动目录上页下页返回结束(a+b)c=(ac)+(bc)cbaa+b(a+b)cac由向量和的平行四边形

7、法则，得证c03.证明向量积的分配律:..bc将平行四边形一投一转(a+b)c=(ac)+(bc)机动目录上页下页返回结束设——向量积的坐标表达式向量积的坐标表示机动目录上页下页返回结束向量积的行列式表示机动目录上页下页返回结束为方便记忆，将上式形式的记为解1：机动目录上页下页返回结束解2：三角形ABC的面积为机动目录上页下页返回结束设混合积的坐标表达式三、向量的混合积机动目录上页下页返回结束则机动目录上页下页返回结束证明：bcabaS=

8、ab

9、h4.混合积的几何意义hacabb.4.混合积的几何意义hacabb.其混合积(a,b,

10、c)=0三向量a,b,c共面因此，4.混合积的几何意义关于混合积几何意义的说明：机动目录上页下页返回结束即机动目录上页下页返回结束——轮换对称性即说明：解：例4：机动目录上页下页返回结束解：机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束证明：充分性：则结论成立必要性：结论成立则结论成立如右图：结论成立四、内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:机动目录上页下页返回结束叉积:机动目录上页下页返回结束混合积：2.向量关系:机动目录上页下页返回结束习题6-3(P18)7,9,13,15,16第三节目录上页下页返回结束作业备用题1.设计算并求夹角的正弦与余

11、弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:机动目录上页下页返回结束证:由三角形面积公式所以而机动目录上页下页返回结束证明：机动目录上页下页返回结束证：机动目录上页下页返回结束解：机动目录上页下页返回结束解：机动目录上页下页返回结束