向量的乘法运算(V)

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1、数量积向量积*混合积第二节*三、向量的混合积一、两向量的数量积二、两向量的向量积第十章一、两向量的数量积1.定义设向量的夹角为,称记作数量积(点积或内积).记作故q为两个非零向量,则有2.性质(1)交换律(2)结合律(3)分配律3.运算律证明三角形余弦定理证则如图.设例14.数量积的坐标表示设则当为非零向量时,由于(2)两向量的夹角公式,得例2已知三点AMB.解则求故例3证注一般地，1.定义定义向量方向:(外积，叉积)记作且符合右手规则模:向量积,称二、两向量的向量积为非零向量,则∥3.运算律(2)分配律(3)结合律2.性质

2、4.向量积的坐标表示式设则5.向量积的行列式计算法注如：(3)事实上，6.几何意义h=ShABC例4已知三点角形ABC的面积.解如图所示,求三例5解例6证例7解*三、向量的混合积1.定义已知三向量称数量混合积.记作2.几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其3.混合积的坐标表示设4.性质(1)三个非零向量共面的充要条件是(2)轮换对称性:例7证明四点共面.解因故A,B,C,D四点共面.例8解内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:混合积:2.向量关系:特例:特例:1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.用

3、向量方法证明正弦定理:思考与练习证由三角形面积公式所以因3.求单位时间内流过该平面域的设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直向量解单位时间内流过的体积且为单位向量的夹角为流体的质量P(流体密度为).h4.一点M的线速度设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解在轴l上引进一个角速度向量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径备用题例5-1证例3解这表明：分别在x,y,z轴上的投影.例6解(1)(2)例6-1已知向量的夹角且解例7解(

4、1)例7-1解例8-1在顶点为三角形中,求AC边上的高BD.解三角形ABC的面积为而故有例10解例9已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的故