微分方程数值解(III)

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1、第6章微分方程数值解微分方程理论在17世纪末就开始发展起来，很快地成了研究自然现象的强有力的工具。在18世纪，在力学、天文、物理和科学技术申，就已经借助于微分方程，取得了巨大的成就。目前，微分方程理论在力学、物理以及工程技术各领域中，已经获得日新月异的应用。自动控制和各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究等，都可以转化为求微分方程的解，或者研究解的性质。有些微分方程的解能用解析法求得，用解析法求解微分方程我们在高等数学中已经学过。例：微分方程的解为：由yx=0=0得c=0微分方程的解为：但有些微分

2、方程的解不能用解析法求得，例如微分方程的发明人之一莱布尼茨（Leibniz）在1686年曾经让当时数学解的人是求解一阶微分方程：从形式上看，这个方程是比较简单的。因此，这个莱布尼兹问题成为历史上的一大挑战，吸引了当时许多数学家的注意，大约经过150年的探索，到1838年刘维尔(Liouville）证明了莱布尼茨提出的这个微分方程不可能用初等积分法求解（即不可能用初等函数及其积分来表达它的解）。对于不能用初等积分法求解的微分方程，只能借助于数值方法来求解。6.1欧拉方法为了介绍欧拉(Euler)方法的构造原理，我们首先给出

3、微分方程初值问题的几何解释。1、方向场我们把X,Y看作一平面上的直角坐标，并设方程（6.1)右端的函数f(x,y)在此平面上某域G内有定义。过这个区域中每一点，方程（6.1）的解曲线的切线斜率显然就等于函数f(x,y)在这点的值。6.1欧拉方法假如在域G中每一点，都画上一个以f(x,y)在这点的值为斜率并一律指向X增加的方向的有向线段，我们就说在域G上作出了一个由方程（6.1)确定的方现场。于是，方程（6.1)的一个解y=y(x)，从几何上看就是位于此方向场中的y=y(x)的曲线，它在所经过的每一点的切线都与方向场在该点

4、的切线相切。或者形象地说，就是始终顺着方向场中的方向进行的曲线。因此，求方程（6.1)满足初值条件y0=y(x0)的解的问题，就是求通过点（x0，y0）的一条曲线。6.1欧拉方法2、Euler方法6.1欧拉方法3、误差6.2龙格－库塔方法我们已经知道，Euler方法是一阶方法。它是在假定Yn=Y(Xn)的情况下，对解曲线Y(x)在Xn点Taylor展开取线性部分的结果。如果我们将Taylor展开多取几项，就可以得到更高精度的方法：龙格－库塔（Runge-Kutta）方法。龙格－库塔（Runge-Kutta）方法要用到高等

5、数学中的二元Taylor公式和二元函数求导法则。利用二元Taylor公式和二元函数求导法则，可以得到二阶Runge-Kutta公式，其格式为：当时，该格式统称为二阶Runge-Kutta公式当时，二阶Runge-Kutta公式称为改进的Euler公式当时，二阶Runge-Kutta公式称为变形的Euler公式四阶Runge-Kutta公式6.3一阶方程组关于一阶方程组的数值解法，根据上述对于一个方程的讨论，可以平行地推广到方程组的情形。为了书写方便，只就两个未知函数情形给出公式。对于方程组和初值条件四阶Runge-Kut

6、ta方法的计算公式为：[例6]已知一火箭发动机的推动力P(t)=2000kg，燃气喷射速度vr=2000m/s,空气阻力函数解:根据质点运动学基本原理,火箭在主动飞行段理想运动状态的微分方程为:6.4应用实例[例7]卫星围绕地球和月球飞行（假定三者在同一平面上），忽略大气阻力，地球的扁球性等微小作用，则卫星的运动方程可表示为：其中：初始条件：这里，Y1,Y2是卫星相对于地球和月球的坐标。假定卫星围绕地球和月球旋转时，能使地球和月球总位于Y1轴上，自变量X是时间，它不明显地在上述方程中出现。选择长度、质量和时间的单位，以使

7、地球位于(Y1,Y2)＝(－μ，0)，月球位于(Y1,Y2)＝((1－μ)，0)。常数μ是月球质量与月球加上地球的总质量之比，如果令m1为地球质量，m2为月球质量，则：6.4应用实例[例8]一敌艇在某海域内沿正北方向行驶，我方战艇恰位于敌艇的正西方向1nmile(相当于60海里)处。我舰艇向敌艇发射制导鱼雷，敌艇的速度为0.42nmile/min,鱼雷速度为敌艇速度的2倍。试问敌艇行驶多远将被击中？解：设敌艇的速度为常数V0，追击曲线为Y=Y(x)。即在时刻t，鱼雷的位置在点P(x,y)处，这时敌艇的位置在点Q(1,V0

8、t)处。则曲线Y=Y(x)满足的微分方程为：0