微分及其应用王建辉

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1、《高等数学》教学课件山东信息职业技术学院基础部第六节微分及其应用二、微分的几何意义三、微分公式与法则四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义2引例:问此薄片面积改变了多少?变到边长由设正方形面积为A,则关于△x的线性主部故称为函数在处的微分的高阶无穷小时为一、微分的定义时,一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其3处的微分,在点x处的增量可表示为则称函数而称为记作即定理:函数在点x处可微的充要条件是即在点处可微,定义:若函数4则有从而导数也叫作微商已知导数求微分已知微分求导数若则故在点x处可微，若即则必要性充分性定理:函

2、数在点x处可微的充要条件是即5例1求函数当x由1改变到1.01时的微分.解函数的微分为例2求下列函数的微分：解6二、微分的几何意义切线纵坐标的增量实例MNTP故时,动画演示设,则x=2时切线方程为7三、微分公式与法则（二）设u(x),v(x)均可微,则(C为常数)（一）基本初等函数的微分公式(见P61表)例证：8例3设，求.解法一应用微分和导数的关系方程两边同时求关于x的导数得解得所以9例3设，求.解法二应用微分法则方程两边分别求微分得即所以10分别可微,的微分为微分形式不变性（三）复合函数的微分则复合函数例4设例5求

3、，求11例4设，求解法一解法二12例5求解法二解法一13四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则:得近似等式:14很小时,常用近似公式:很小)证明:令得特别当15的近似值．解:设取则例6求16的近似值．解:例7计算17为了提高球面的光洁解:已知球体体积为镀铜体积为V在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)只球需用铜多少克．估计一下,每度，要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,例8有一批半径为1cm的球,18内容小结1．微分概念微分的定义及几何意义可导可微2．微分运算法则微分形式不变性：(u是自变量或中间变量)3．微分

4、的应用近似计算19思考与练习1.设函数的图形如下,试在图中标出的点处的及并说明其正负.202.21由方程确定,解:方程两边求微分,得当时由上式得求6.设且则5.设22P664(1)，(3)，(5)，(7)，(9)作业谢谢！23