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1、微分与差分方程模型简介常微分与常差分方程的定义种群动力学模型简介流行病动力学模型简介模型性态分析方法简介一.常微分与常差分方程的定义1.导数的定义及其意义设函数在点的某域内有定义,则称极限为函数在点处的导数.函数在某点处的导数反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度,是刻画函数变化率的一个重要数学量.任意一个涉及到两个变量之间变化率的实际问题均可考虑建立微分方程模型来进行讨论.如速率,出生率,死亡率等.2.常微分方程定义凡含有未知函数,未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是
2、一元函数的叫常微分方程,未知函数是多元函数的叫偏微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.n阶微分方程形如特别地,一阶微分方程为需要注意:n阶微分方程的通解含有n个任意常数.若需确定这n个任意常数,需给出n个初始条件.但并非每个微分方程或方程组均可求出其解.3.差分与差分方程定义3.1设函数y=f(x),记为yx.当x取遍非负整数时,所得函数值可排成一数列:则差称为函数有y=f(x)的一阶差分,记为类似地,可定义二阶以上的差分.定义3.2含有未知函数差分或表示未知函数几个
3、时期的符号的方程称为差分方程.差分方程中未知函数的最大值与最小值之差称为差分方程的阶.例如定义3.3如果一个函数带入差分方程后,方程两边相等,则称此函数为差分方程的解.类似于常系数线性齐次常微分方程的通解的构造,我们只需找到该差分方程的n个线性无关的解,作出其线性组合即可.常见的一阶差分方程设f是由区间[a,b]到其自身的一个连续映射,一阶自治差分方程的一般形式为给定初值,通过上式反复迭代上述方程的解为一数列二.种群动力学模型简介种群动力学是用动力学的方法去研究种群生态学,而种群生态学是生态学的一个重
4、要分支,也是迄今为止数学在生态中应用的最广泛深入,发展的最为系统和成熟的分支.下面将通过数学生态学中的一些基本动力学模型,简要介绍建模思想,及常用的研究方法.生态学是研究生物的生存条件,生物群与环境之间相互作用的过程及其规律的科学.在一特定时间内占据一定空间的同一物种的集合成为一个种群,种群的每个成员成为一个个体.种群生态学的着眼点在整个种群的演变规律和发展趋势,而往往忽略个体的特性.种群生态学研究的主要问题有两个:(1)种群随时间的变化规律.随着时间的推移,种群是持续生存还是绝灭,种群规模是否具有平
5、衡态,有几个,是静平衡还是动平衡等等.(2)如何对可再生资源进行开发利用才能既保持生态平衡,又获取最大的经济效益.(1)单种群模型1.Malthus人口模型X(t)表t时刻人口数,模型表为t时刻种群的变化率是与种群数目成正比.r为内禀增长率,是种群的出生率b与死亡率d之差.方程的解为Malthus模型当t不很长时是比较符合实际的,但当t趋于无穷大时x(t)将无限增长是与实际不符的.问题在于建立数学模型时没有考虑到有限的资源对种群规模增长的制约作用.2.Logistic模型K>0为环境容纳量.它表示保持
6、种群规模增长,环境所能容纳的最大种群规模.种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量(1-x/K)成正比.3.离散的Logistic模型离散模型通常用以描述世代不重叠的种群(蚕).设第n代种群规模为xn,则离散的logistic模型为4.具有时滞的单种群模型(1)确定时滞模型是妊娠所需要的时间.事实上,t时刻种群的相对增长率取决于时刻种群的规模.时刻增加的个体,在时已孕育在母体.(2)连续分布时滞模型若t时刻种群规模的相对增长率依赖于t时刻以前的整个历史时期中种群规模的发展,而在不同时刻又以不同的权函
7、数p(u)影响,则有5.具有生理阶段结构的单种群模型实际上,年龄是影响种群规模的一个重要指标.因为在不同年龄段的生物群体具有不同的生育力和死亡率,涉及年龄的模型有三类:(1)按年龄段划分为若干阶段(幼,成,老),建立常微分方程组模型(2)离散地划分年龄,建立矩阵代数方程.(3)考虑年龄连续分布,建立一阶偏微分方程.6.具有离散年龄结构的单种群模型把所讨论物种的最大成活年龄区间分成n个相等的子区间,同时把从t0开始的时间也按与年龄子区间相等的长度加以划分,在将这两类子区间分别从小到达加以编号,用xij表
8、示在第j个时间段内年龄位于第i段的种群规模.假定种群的规模只决定于时间和年龄,或略密度制约因素.a.设pi是年龄处于第i段的个体能活到i+1段的概率,即b.设Bi是年龄为i段的每一个体在一个时间段内平均生育的下一代数量,即即此为著名的leslie矩阵模型.7.具有扩散的单种群模型由于环境容纳量的限制或者环境条件的改变等影响,种群有时会在两个或多个栖息地间迁徙.种群规模(密度)大的斑块上种群通常向种群规模(密度)小的斑块迁徙或扩散.现实世界中种群不可能单独
