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1、-实验二：微分方程与差分方程模型Matlab求解一、实验目的[1]掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；[2]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；[3]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；[4]熟悉离散Logistic模型的求解与混沌的产生过程。二、实验原理1.微分方程模型与MATLAB求解解析解用MATLAB命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’,...)求常微分方程（组）的解析解。其中‘eqni'表示第i个微分方程，Dny表示y的n阶导数,默认的自变量为t。（1）微分方程例1求解一阶微分方程 (1)求通解输入：ds
2、olve('Dy=1+y^2')输出：ans=tan(t+C1)（2）求特解输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x输出：ans=tan(x+1/4*pi)----例2求解二阶微分方程原方程两边都除以，得输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans=-(exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2)+(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不
3、用用simplify函数化简输入:simplify(ans)ans=2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3求解 df/dx=3f+4g; dg/dx=-4f+3g。（1）通解: [f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g')f=exp(3*t)*(C1*sin(4*t)+C2*cos(4*t))g=exp(3*t)*(C1*cos(4*t)-C2*sin(4*t))特解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1')f=exp(3*
4、t)*sin(4*t)g=exp(3*t)*cos(4*t)----数值解在微分方程(组)难以获得解析解的情况下，可以用Matlab方便地求出数值解。格式为:[t,y]=ode23('F',ts,y0,options)注意：Ø微分方程的形式：y'=F(t,y)，t为自变量，y为因变量（可以是多个，如微分方程组）；Ø[t,y]为输出矩阵，分别表示自变量和因变量的取值；ØF代表一阶微分方程组的函数名（m文件，必须返回一个列向量，每个元素对应每个方程的右端）；Øts的取法有几种，（1）ts=[t0,tf]表示自变量的取值范围，（2）ts=[t0,t1,t2,…,tf],则输出在指定时刻t0
5、,t1,t2,…,tf处给出，（3）ts=t0:k:tf,则输出在区间[t0,tf]的等分点给出；Øy0为初值条件；Øoptions用于设定误差限（缺省是设定相对误差是10^(-3)，绝对误差是10^(-6)）；ode23是微分方程组数值解的低阶方法，ode45为中阶方法，与ode23类似。例4求解一个经典的范得波（VanDerpol）微分方程：解形式转化：令。则以上方程转化一阶微分方程组：。编写M文件如下，必须是M文件表示微分方程组，并保存，一般地，M文件的名字与函数名相同，保存位置可以为默认的work子目录，也可以保存在自定义文件夹，这时注意要增加搜索路径（FileSetPat
6、hAddFolder） function dot1=vdpol(t,y); dot1=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];在命令窗口写如下命令:[t,y]=ode23('vdpol',[0,20],[1,0]);y1=y(:,1);y2=y(:,2);----plot(t,y1,t,y2,'--');title('VanDerPolSolution');xlabel('Time,Second');ylabel('y(1)andy(2)')执行：注：VanderPol方程描述具有一个非线性振动项的振动子的运动过程。最初,由于它在非线性电路上的应用而引起广泛
7、兴趣。一般形式为。图形解无论是解析解还是数值解，都不如图形解直观明了。即使是在得到了解析解或数值解的情况下，作出解的图形，仍然是一件深受欢迎的事。这些都可以用Matlab方便地进行。(1)图示解析解如果微分方程（组）的解析解为：y=f(x)，则可以用Matlab函数fplot作出其图形：fplot('fun',lims)其中：fun给出函数表达式；lims=[xminxmaxyminymax]限定坐标轴的大小。例如fplot('sin(1/x)',[0.0
