《微分差分模型》PPT课件

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1、第三章微分方程和差分方程模型3.1微分方程模型3.2差分方程模型3.3观众厅地面设计3.4碳定年代法3.5范.梅格伦伪造名画案在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程.在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这是可利

2、用第二章参数估计方法).而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.3.1微分方程模型如果则称平衡点x0是稳定的.称代数方程f(x)=0的实根x=x0为方程(3-1)的平衡点(或奇点).它也是方程(3-1)的解.设稳定性判别方法由于在讨论方程(3-1)的来代替.稳定性时，可用易知x0也是方程(3-2)的平衡点.(3-2)的通解为关于x0是否稳定有以下结论：①若则x0是稳定的；②若则x0是不稳定的.这个结论对于(4-1)也是成立的.关于常微分方程组的平衡点及其稳定性,

3、设代数方程组的实根x=x0,y=y0称为方程(3-3)的平衡点,记作P0(x0,y0).它也是方程(3-3)的解.如果则称平衡点P0是稳定的.下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则.设则当p＞0且q＞0时,平衡点P0是稳定的；当p＜0或q＜0时,平衡点P0是不稳定的.3.2差分方程模型对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(3-6)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(3-6)的解,包含个任意常数的解称为(3-6)

4、的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为(3-6)的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(3-6)的特解.若x0,x1,…,xk-1已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(3-6)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,则称a是差分方程(3-6)的平衡点.又对差分方程(3-6)的任意由初始条件确定的解xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程xn+1+axn=b,(其

5、中a,b为常数,且a≠-1,0)的通解为xn=C(-a)n+b/(a+1)易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当

6、a

7、＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.当r=0时,它有一特解x*=0；当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程2+a+b=0的两个根分别为=1,=2.①当1,2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+

8、C1(1)n+C2(2)n;②当1,2=是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+(C1+C2n)n;③当1,2=(cos+isin)是一对共轭复根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+n(C1cosn+C2sinn).易知,当且仅当特征方程的任一特征根

9、i

10、＜1时,平衡点x*是稳定的.则对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分

11、方程与原非线性差分方程的稳定性相同.因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当3.3观众厅地面设计1问题的提出在影视厅或报告厅，经常会为前边观众遮挡住自己的视线而苦恼。显然，场内的观众都在朝台上看，如果场内地面不做成前低后高的坡度模式，那么前边观众必然会遮挡后面观众的视线。试建立数学模型设计良好的报告厅地面坡度曲线。建立坐标系oo—处在台上的设计视点bb—第一排观众的眼睛到x轴的垂直距离xyadda—第一排观众与设计视点的水平距离d—相邻两排的排距—视线升高标准x—表示任一排与设计视点的水平距离求任一

12、排x与设计视点o的竖直距离函数使此曲线满足视线的无遮挡要求。问题2问题的假设观众厅地面的纵剖面图一致，只需求中轴线上地面的起伏曲线即可。同一排的座位在同一等高线上。每个坐在座位上的观众的眼睛与地面的距离相等。每个坐在座位上的观众的头与地面的距离也相等。所求曲线只要使观众的视线从紧邻的前一个座位的人的头顶擦过即可。3建模设眼睛升起曲线应满足微分方程初始条件obxyadd1）从第一排起，观众眼睛与o点的连线的斜率随排