平面向量的数量积及运算律(IV)

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1、平面向量的数积及运算率昆明实验中学2014级【学习目标】1.认识理解平面向量数量积的含义及物理意义，体会平面向量的数量积与向量投影的关系。2.掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用平面向量数量积的定义、运算律进行运算。自主学习【问题导学】阅读课本P103—P105，回答下列问题1．向量数量积的定义是什么？先看一个物理问题一个物体在力F的作用下产生的位移s，那么力F所做的功应当怎样计算？θsF其中θ是F与s的夹角.W=

2、F

3、

4、s

5、cosθ从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念。先看一个概念-----向量的夹角两个非零向

6、量a和b，作，，则叫做向量a和b的夹角．OABabOABba当，OABba当，OABab当，记作已知a与b同向；a与b反向；a与b垂直.平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．（2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，它与数的乘法是有区别的，a·b不能写成a×b或ab.

7、说明：2.垂直于直线OA，垂足为B1，则，过点B作BB1如图OABab

8、b

9、cosθ

10、b

11、cosθ叫向量b在a方向上的投影．

12、a

13、cosθ叫向量a在b方向上的投影．3．向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正？什么时候为负？什么时候为零？OABabOABabBOAabθ为锐角时，

14、b

15、cosθ＞0θ为钝角时，

16、b

17、cosθ＜0θ为直角时，

18、b

19、cosθ=0数量积的物理意义：数量积的几何意义：等于的长度与在的方向上的投影的乘积。θsFW=F·s=

20、F

21、

22、s

23、cosθ4．向量数量积的几何意义是什么？（1）e·a=a·e=

24、a

25、c

26、os（2）a⊥ba·b=0(判断两向量垂直的依据)（3）当a与b同向时，a·b=

27、a

28、

29、b

30、，当a与b反向时，a·b=－

31、a

32、

33、b

34、．特别地（4）由数量积的定义，可得以下重要性质:设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则5.向量的数量积有那些性质？为什么？请你证明(5)≤≤，即≤数量积的运算律：⑴交换律：⑵对数乘的结合律：⑶分配律：6．向量数量积满足那些运算律？如何证明？⑵数乘的结合律：等式显然成立.综上所述：⑶分配律：.OCAA1BB1实数运算与平面向量的数量积的区别∴向量数量积不满足结合律.

35、说明：练习1：判断下列命题正确与否：（1）若a=0，则对任一向量b，有a·b=0。（2）若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0。（3）若a≠0，a·b=0，则b=0。（4）若a·b=0，则a、b中至少有一个为0。（5）若a≠0，a·b=a·c，则b=c。（6）若a·b=a·c，则b≠c，当且仅当a=0时成立。（7）对任意向量a，有a2=

36、a

37、2。（√）（X）（X）（X）（X）（X）（√）bca练习2：1、有四个式子：⑴⑵⑶⑷其中正确的个数为（）A、4个B、3个C、2个D、1个2、已知　、　都是单位向量，下列结论正确的是（）

38、A、B、C、　∥D、3、有下列四个关系式：⑴⑵⑶⑷，其中正确的个数是（　　　　）A、1B、2C、3D、4DBA【合作、探究、展示】合作探究解(1):(2):例2．我们知道，对任意恒有.对任意向量是否也有下面类似的结论？作为公式所以有上述类似的结论【课堂小结】1．理解平面向量数量积的含义及物理意义，平面向量的数量积与向量投影的关系。2掌握平面向量数量积的性质和运算律，熟练地应用平面向量数量积的定义、运算律进行运算。【达标检测】教材P106练习1,2,3P108A组1,2,3B组1已知是非零向量，且与垂直，与垂直，求的夹角。①②例

39、2：代入①得解：补例3、如图，在平行四边形ABCD中，已知　　　　，　　　，，求：（1）　　　；　（2）　　　；（3）　　　．解：因为∥且方向相同，所以与夹角是所以因为∥且方向相反，所以与的夹角是所以所以与的夹角为因为与的夹角是，所以（1）（2）（3）