常微分方程的数值解法(I)

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1、第九章常微分方程数值解法第一节Euler方法第三节单步法的收敛性和稳定性第二节Runge-Kutta方法上一页下一页返回1上一页下一页返回本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程.常微分方程它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一，分为两类：1.初值问题即给出未知函数及导数在初始点的值；2.边值问题即给出未知函数及（或）它的某些导数在区间两个端点的值。2考虑一阶常微分方程的初值问题:只要f(x,y)在[a,b]R1上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x

2、,y无关的常数L使对任意定义在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述问题解存在唯一解。所谓数值解法就是要计算出初值问题的解函数y(x)在一系列离散点a=x0

3、式解初值问题解：取步长h=0.1,欧拉公式的具体形式为：依次计算可得………y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10上一页下一页返回5其部分结果见下表可见Euler方法的计算结果精度不太高。上一页下一页返回6欧拉公式的几何意义：x0P0x1P1x2P2xnPn几何意义：用折线近似代替方程的解曲线,因而也称Euler方法为折线法.上一页下一页返回7二、后退的欧拉公式也用一阶差商逼近导数令yn+1为y(xn+1)的近似值，则可得称为后退Euler公式已知yn时,必须通过解方程才能求出yn＋1,这样的公式称为隐式公式,而E

4、uler公式为显式公式.Euler公式和后退Euler公式都是由yn去计算yn+1，因此，称它们为单步法。上一页下一页返回8定义在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差Ti+1=y(xi+1)yi+1称为局部截断误差。定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。显然,p越大,精度越高.三、局部截断误差与方法的阶（将准确解代入公式的左、右两端，其左端与右端之差）Euler方法的精度其中：上一页下一页返回9所以，Euler方法具有1阶精度。将在点处一阶Taylor展开上一页下一页

5、返回10所以，后退的Euler方法也具有1阶精度。将在点处一阶Taylor展开隐式Euler方法的精度上一页下一页返回11—显、隐式两种算法的平均欧拉公式的改进其局部误差为：此公式具有2阶精度.称平均公式或梯形公式梯形公式可由下迭代式计算：其中迭代初值是Euler公式提供.上一页下一页返回12四、改进的欧拉公式Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step2:再将代入隐式梯形公式的右边作校正，得到1+iy)],(),([2111+++++=iiiiiiyxfyxfhyy注：此法亦称为预测

6、-校正法。可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的精度高于显式欧拉法。上一页下一页返回13为了便于编程,常将改进的欧拉公式写为：上一页下一页返回14例2用改进的欧拉法解例1中的初值问题.解：取步长h=0.1,改进欧拉法的具体形式为具体计算过程如下上一页下一页返回15xn改进的欧拉法误差xn改进的欧拉法误差0100.61.4859560.0027160.21.1840960.0000880.81.6164760.0040240.41.3433600.0017191.01.7

7、378690.005818依次计算可得………y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10其部分结果见下表上一页下一页返回16例3对下面的初值问题解（1）取步长h=0.1,欧拉方法的具体公式为（2）取步长h=0.1,改进的欧拉方法的具体公式为取步长h=0.1，分别用Euler方法、改进的Euler方法求数值解。上一页下一页返回17计算结果见下表Euler方法改进的Euler方法xnynyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.9000000.8100000.7290000.6561000.5904

8、900.5314410.4782970.4304670.3874210.3486790.9050000.8190250.7412180.6708020.6070760.5494040.4972100.4499750.4072280.368541上一页下一页返回18第二节龙格-库塔法基本思想