常微分方程数值解法(I)

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1、第十二讲常微分方程数值解法1第十二讲主要知识点欧拉（Euler）方法、向后欧拉法、梯形法及梯形法的预估校正法欧拉法的收敛性龙格－库塔方法、线性多步法、预估－校正法*。一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法*2问题的提出在解决科技领域的实际应用问题时，常微分方程求解是常见的。本章着重讨论一阶方程初值问题的数值解法。对高阶方程和微分方程组的数值解，其基本思想是完全一样的．解初值问题有多种解析方法，但解析法只能对一些特殊类型的方程才能求出其准确解，多数情况只能用近似方法求解。初值问题的数值解法，就是寻求方程的解在自

2、变量的一系列离散节点上的近似值。3问题的提出(续1)初值问题4问题的提出(续2)相邻两节点间的距离称为步长，通常在计算上采用相等的步长，这时等距节点，．初值问题的数值解法的基本特点是：求解过程是顺着节点排列的顺序一步一步的向前推进，即按递推方法由已知的求出。所以，初值问题的数值解法就是建立这种递推公式。5问题的提出(续3)将微分方程两端从到积分，得这样，求原初值问题式的解，转化为求问题式的解,利用各种求积公式就可以得到一些求的近似公式。6Euler方法(推导2）差商方法7Euler方法数值积分方法8Euler方

3、法(续)数值积分方法9隐式Euler方法向后差商10二步Euler方法中心差商11梯形公式12梯形公式(续)梯形公式(见上页)，实际上是Euler方法和隐式Euler方法的算术平均。梯形公式的精度为二阶。例：用梯形公式求下列初值问题的解在13改进的Euler方法改进的Euler方法为Euler方法和梯形公式的结合，也称作预估---校正法。14改进的Euler方法(续1)嵌套形式15改进的Euler方法(续2)16局部截断误差称一种数值方法是p阶的，如果其局部截断误差为。Euler方法和隐式Euler方法的精度是

4、一阶的。二步Euler方法的精度是二阶的。17龙格-库塔方法改进的Euler方法也可写成18二阶龙格-库塔方法19二阶龙格-库塔方法(续1)要使二阶方法的局部截断误差为，四个系数值应满足下列关系式：20二阶龙格-库塔方法(续2)特例1：21二阶龙格-库塔方法(续3)特例2：22三阶龙格－库塔方法23四阶龙格－库塔方法24例题分析25两点说明26变步长的龙格—库塔方法27公　式28线性多步法29线性多步公式的导出30线性多步公式的导出(续1)31线性多步公式的导出(续2)32线性多步公式的导出(续3)33线性多步

5、公式的导出(续4)34线性多步公式35常用的线性多步公式36常用的线性多步公式(续)37利用数值积分方法求线性多步公式38利用数值积分方法求线性多步公式(续1)39利用数值积分方法求线性多步公式(续2)40利用数值积分方法求线性多步公式(续3)41利用数值积分方法求线性多步公式(续4)42利用数值积分方法求线性多步公式(续5)43线性多步法小结44本讲结束！谢谢大家！再见！45