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1、§1.1函数§1.2极限的概念§1.3极限的四则运算法则与函数的连续性§1.4复利与贴现学习目标教学建议第一章函数与极限一.数列的极限二.函数的极限§1.2极限的概念三.无穷小与无穷大一.数列的极限案例1战国时期哲学家:庄周“一尺之棰，日取其半，万世不竭”《庄子天下篇》一尺即“一根长为一尺的棒头，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去.”实际上，每天截后剩下的棒的长度是（单位为尺）：第3天剩下；……；第1天剩下；第2天剩下；第21天剩下；第天剩下；……；这样，我们就得到一列数……；第22天剩下；……这一列数就是一个数列.随着时间的推移，剩下的棒的长度越来越短.显然,当天数
2、无限增大时,剩下的棒的长度将无限缩短,即剩下的棒的长度接近于数0.这时我们就称由剩下的棒的长度构成的数列以常数0为极限.并记作一般地，按正整数顺序排列的无穷多个数,称为数列,数列通常记作定义1.2设数列1.数列第一项第二项第项,也称为通项或一般项2.数列的极限若当无限增大时,趋向于常数,则称数列以为极限，记作或有极限的数列称为收敛数列.没有极限的数列称为发散数列.收敛数列举例当无限增大时,由于无限接近于数0,所以无限接近于数1,因此数列以1为极限.即数列发散数列举例当无限增大时,也无限增大,它不趋于任何常数,该数列就没有极限.(1)数列注意到随着无限增大，它有确定的变化趋势，
3、即取正值且无限增大，对这种情况，我们借用极限的记法表示它的变化趋势，记作或正无穷大发散数列举例可分别记作负无穷大同样，对数列无穷大(2)数列通项为,其数值-1和+1上跳来跳去，也不能接近某一常数，这样的数列也没有极限.将数列取值计算,列表如下.考察其极限是否存在.12.000000102.5937421022.7048141032.7169241042.7181461052.7182681062.718280当无限增大时练习1数列增加得越来越慢由上表可看出，该数列是单调增加的;若再仔细分析表中的数值会发现,随着增大,数列后项与前项的差值在减少,而且减少得相当快.这表明,数列的
4、通项当无限增大时.它将趋于一个常数.可以推出,该数列有极限,且其极限为,即是一个无理数,=2.718281828459…．.1.当时，函数的极限在这里作为函数的自变量.若取正值且无限增大,记作若取负值且其绝对值无限增大,记作若既取正值又取负值,且其绝对值无限增大,记作这里，“当时，函数的极限”，就是讨论当自变量的绝对值无限增大时，函数的变化趋势.若无限接近常数,就称当趋于无穷大时，函数以为极限.二.函数的极限案例2经研究,得到非常有名的揭示遗忘规律的曲线,称为艾宾浩斯遗忘曲线.图中竖轴表示学习中记住的知识数量，横轴表示时间(天数)，曲线表示记忆量变化的规律．德国心理学家:艾宾
5、浩斯(H.Ebbinghaus)这条曲线告诉人们在学习中的遗忘是有规律的,遗忘的进程不是均衡的,到了相当长的时候后,几乎就不再遗忘了,这就是遗忘的发展规律.该问题可理解为:当时间趋于正无穷大时,记忆的数量将以为极限.1.当时，函数的极限或定义1.3设函数在时有定义,若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于无穷大时以为极限，记作定义1.3的几何意义:曲线沿着轴的正向和负向无限远伸时,与直线越来越接近.此时,称直线为曲线的水平渐近线.例如,由下图可知它的左侧分支沿着轴的负向无限远伸时,与直线越来越接近,即以直线为水平渐近线.它的右侧分支沿着轴的正向无限远伸时,与直线越来越接近,即以直
6、线为水平渐近线.一般地，对曲线,若或则直线是曲线的水平渐近线．(1)当时,函数的极限或若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于负无穷大时以为极限,记作(2)当时,函数的极限或若当时,函数趋于常数,则称函数当趋于正无穷大时以为极限,记作时,函数的极限与时,函数的极限的关系：极限存在且等于的充分必要条件是:极限与都存在且等于,即练习3求解由图易看出由极限存在的充分必要条件知不存在.曲线沿着轴的负方向无限延伸时,以直线为水平渐近线.2.当时，函数的极限是一个定数.若且趋于,记作若且趋于,记作若和同时发生,则记作.这里，“当时,函数的极限”,就是在点的左右邻近讨论当自变量无限接近定数(但
7、不取)时，函数的变化趋势.若当趋于时,函数的对应值趋于常数,则称当时,函数以为极限.00.50.80.90.990.9990.99990.999990.999999...11.51.81.91.991.9991.99991.999991.999999...21.51.21.11.011.0011.00011.000011.000001...32.52.22.12.012.0012.00012.000012.000001...相应的函数值的变化情况见表:案例3设函数,试讨论当时，函数的变化情况.当时,函数
