§21 数列极限的概念与性质

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1、极限概念的萌芽可追溯至公元前300年，当时我国著名哲学家庄子的著作中便有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”（庄子《天下篇》）的论述。引言：我国古代极限思想外星人的狂想…….庄子约公元前369-前286圆周率π(割圆术,刘徽,魏晋)圆面积:S=πr2内接正n变形面积:SnS2n

2、429-500第二章数列极限与数值级数数列极限数值级数极限的定义基本性质收敛性判定收敛与发散的定义基本性质收敛性判定2.1.3数列极限的几何解释§2.1数列极限的概念与性质2.1.1数列极限的直观描述2.1.2数列极限算术定义内容小结与作业2.1.4数列极限的基本性质按一定规律排列的无穷多个（相同或不相同的）数称为记作也可简记为，其中为，称为或．定义2.1.1数列的第n项通项一般项例数列的第2项数列的第101项1.数列的定义数列．2.1.1数列极限的直观描述自然数数列整标函数在几何上数列的项可以用平面上的点列\2.1.1数列极限的直观描述列表法：2.数列的直观

3、表示方法\2.1.1数列极限的直观描述几何法：将数列的项所对应数值表示在数轴上方法一：方法二：点列图\2.1.1数列极限的直观描述（1）等差数列：（为非零常数）（2）等比数列：（为非零常数）；3.例子（3）（4）（5）1,3,5,…,2n-1,…2,4,8,…,2n,…\2.1.1数列极限的直观描述“对于数列，如果存在一个常数，当无限增大时(记为)，与常数无限接近，则称常数为数列的极限．记为，或4.数列极限的描述性的定义点列随n无限增大而无限接近水平直线几何意义：\2.1.1数列极限的直观描述魏尔斯特拉斯德国数学家。严格的论证引进分析学的一位大师，为分析

4、严密化作出了不可磨灭的贡献，是分析算术化运动的开创者之一。在1841年至1856年，给出了连续函数的定义（ε-δ定义），以及完整的一套类似的表示法，使数学分析的叙述精确化。他证明了任何有界无穷点集，一定存在一个聚点。早在1860年的一次演讲中，他从自然数导出了有理数，然后用递增有界数列的极限来定义无理数，从而得到了整个实数系。这是一种成功地为微积分奠定理论基础的理论。写了许多论文。其中一篇《阿贝尔积分理论》一文，发表在当时德国中小学发行的一种不定期刊物“数学简介”上。如果这篇文章有机会让德国专业数学家看到，肯定会引起巨大反响。1848年，卡尔调到勃朗斯堡大学预科

5、学校任教。直到1853年，卡尔将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克列尔主办的《纯粹与应用数学杂志》（简称《数学杂志》）引起了轰动。哥尼斯堡大学的理查劳斯教授敦促哥尼斯堡大学授予卡尔博士学位，并立即启程亲自把证书送到勃朗斯堡。1856年，经库默尔荐举，卡尔被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选为柏林科学院院士，他后来又转到柏林大学任教授，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄。答：答：答：不存在极限答：不存在极限依照上述定义及其几何意义，判断下列数列是否存在极限：例１答：\2.1.1数列极限的直观描述当n无限增大时，与常数a无限接近与常数a无限

6、接近

7、-a

8、无限接近于0

9、-a

10、能够小于任意预先给定的正数与的关系项有无限项项有有限项2.1.2数列极限算术定义成立．定义2.1.2对于数列，若存在常数，对于任意给定的正数，均存在正整数，当时，恒有若上述常数不存在，则称数列则称常数称为该数列的，记为或数列极限的定义称为“”定义称上述定义数列极限的语言为“”语言．注：数列存在极限（或收敛），不存在极限（或发散）．极限数列极限的定义的任意性一旦给定，就暂时看作固定不变的，以便根据它来求N可以是任何正数，那么同样也是任意正数，因此可以用代替。不等式中的“<”可以换成当时，恒有N的相应性一般说来N是随着的变小而变大的。

11、但是N不是由唯一确定的，而且实际上N只需要是正数就可以了。定义中“当n>N时，恒有”是指凡是下标大于N的所有，都满足不等式。从几何上看，就是所有下标大于N的，都落在的邻域中。邻域之外最多有N（有限）项。或者说收敛于的数列，在的任何邻域内含有几乎全部项。数列极限的定义用数列极限定义验证对于任意给定的正数，要使只需证对于任意给定的正数，存在正整数，则当时，恒有因此，由定义知．分析例２\2.1.2数列极限的算术定义极限“”定义简洁形式：当时，恒有例2的证明可改写为：当时，恒有用数列极限定义验证证对于任意给定的正数，存在正整数，则当时，恒有由定义知例3\2.1.2数

12、列极限的算术定义用极限定