数列极限与性质.ppt

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1、一、数列的有关概念三、收敛数列的性质四、课堂练习题二、数列极限的定义第三节数列的极限一、数列(sequence)的有关概念例如注：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数2.有界性例如,有界；无界同样,3.单调性为单调增数列；单调减数列．单调增数列和单调减数列统称为单调数列．4.子数列(subsequence)注意：例如，二、数列极限的定义(Limitofasequence)容易看出：亦即当n越来越大时,越来越靠近1.此时我们称1是数列的极限，这就是数列极限的直观定义。数列极限的直观定义,刻画了极限的本质特征,那

2、么“无限接近”“越来越靠近”意味着什么?但它不是数学定义,因为“越来越大”和越来越靠近都不是数学语言,它只是一种定性的描述,我们需要将它转换为数学语言。如何用数学语言刻画它.度量两个数的接近程度通常使用距离这个概念.的所有xn与1的距离

3、xn-1

4、都小于当n越来越大时,xn与1的距离

5、xn-1

6、趋于零而且从N以后当数列{xn}无限接近于1对于事先给定的正数(这个正数可以任意小),一定存在某一时刻N,距离

7、xN-1

8、越变越小时,始终存在时刻N,当n>N时,有

9、xn-1

10、<当时,距离

11、xn-1

12、→0.(数列点{xn}向1聚集)这样我们就用数学的

13、语言刻画了当n→∞时,xn无限地接近于1.如果数列没有极限,就说数列是发散的.如果对aR,则称数列{xn}发散。几何解释:其中数列极限的几何意义n0123456789····································ANaa-ea+e()0,NN当nN时有

14、xna

15、.存在NN,当nN时点xn全都落在邻域(a-,a+)内:对任意给定>0,就存在a的邻域(a-,a+),记为U(a,)由于具有任意性,也就是说邻域U(a,)的

16、长度可以任意收缩到0,但不管它有多小,从n>N以后的数列的所有的无穷个点xn始终在U(a,)内,而在邻域外的点始终只有有限个.例1证所以,例2证例3证得于是解不等式取当通常求不等式的解比较复杂,此时常常将不等式适当放大后,解新的不等式来证明极限。数列极限“-N”定义的剖析①的任意性的作用在于用来刻画数列中的项xn和某一常数a的接近程度,在“-N”定义中,必须是可以任意小的正数,这是的本质特征.正因为如此,不等式

17、xna

18、

19、瞬息万变，我们无法求得N，验证工作也就无法进行。1)的两重性③不等式

20、xn-a

21、<右端的可以写成c或k等函数f(),其中c,k为常数,只要能保证右端项f()可以任意小就可以。数列极限“-N”定义的剖析N是根据给定的求出来的,它与有关.一般说来给出在前,N随着的变小而增大，我们经常将N写成N(),用来强调N是依赖而存在的.N的作用是指出在n无限增大的过程中有一个“时刻”,其后所有的自然数n所对应的数列中的项xn都应全落入U(a,)邻域中，也即满足不等式

22、xna

23、

24、比N大的任意正整数或任意实数都可以担当N这个角色，因此不必要求最小的N。2)N的相应性用“-N”定义验证的过程就是根据找N的过程,而找N的过程就是解

25、xn-a

26、<不等式的过程，对任意给定的>0,通常将

27、xn-a

28、适当放大成(n),或限制n大于某个正使之变形为整数N0,(nN0),这种放大和限制的目的是易于从不等式中解出N,即令N=max{N0,},则当n>N时，此时就有因为我们不需要找出最小的N,因而可以适当放大,但注意放大后的(n)要满足(n)0,(当n)验证数列的极限为的论证法论证步骤①对任意给定的正数，解绝对值不等式②

29、适度放大，解出；③取，按定义论述结论.下面举例练习利用极限定义证明极限存在的例子例4分析:证明0,NNnN时有

30、xna

31、.例5.证:>0,由于要使

32、xna

33、<,则当n>N时,有例6.如下关于的证法错在那里？所以证：为了使即要使则有则当n>N时，就有不等式成立。分析:证明例7证明这是一个不易求解的绝对值不等式，必须使用放大法为了去掉绝对值，不妨设n>4,则有对任意>0,取N=[1/]即可。所以在这个例子中,为什么可以随意假定n>4呢？我们知道,对于给定的>0，相应的N是不唯一的,N可以取得很大,因此可以在比

34、4大的正整数中去寻找N，并不失一般性，却给“放大”带来了方便。从“-N”定义的实质上来说，一个数列是否收敛,与它前面的有限项的取值情况