数列的极限、性质及运算.ppt

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1、有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限的理论和方法。例如，设有一圆，首先作内接正6边形，把它的面积记为A1；再作内接正12边形，其面积记为A2；在做正24边形，把它的面积记为A3；循环下去，每次边数加倍，一般地把内接正6×2n-1边形的面积记为An（n=1,2,3,..）这样就得到一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，…An，…它们构成一列有次序的数。N越大，内接正多边形与圆的差别就越小,从而以An作为圆的面积的近似值也越精确。但无论n取多么大，An终究只是多边形的面积，而不是圆的面积

2、。设想n无限增大，即内切正多边形的边数无限增加，在这个过程中，从图形上看，内接正多边形将无限接近于圆；因此从数值上看，内接正多边形的面积An将将无限接近于一个确定的值，这个数值就是所要求的圆的面积。在数学上，将这个确定的数值称为上面这列有次序的数（称作数列）A1，A2，A3，…An，…的极限。可以看到，正是这个数列的极限精确地表达了圆的面积。设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1,x2,…xn,…,称为一个数列.xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为{xn}或xn=f(xn)第一节　数列的极限一、数列的极限例.1x看数

3、列1.从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?2x1x2x3x4xn注意到,实数a,b的接近程度由

4、ab

5、确定.

6、ab

7、越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,

8、xn1

9、会越来越接近于0”.而要说明“

10、xn1

11、越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,

12、xn1

13、能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,

14、xn1

15、比还小,由于是任意

16、的,从而就说明了

17、xn1

18、会越来越接近于0.事实上,,给,很小,,只须n>1000即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个又给,则从第10001项开始,以后各项都有一般,任给>0,不论多么小,只须.因此,从第项开始,以后各项都有.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使定义:设{xn}是一个数列,a是一个常数,若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

19、xna

20、<,则称a是数列{xn}当n无限增大时的极限,或称{xn}收敛于a,记作这时,也称{xn}的极限存在,否则,称{xn}的极限不存在,或称{xn}是发散的.定义中的“当

21、n无限增大时，xn无限接近于某个确定的常数a”的意思是：当n无限增大的过程中，xn与常数a的距离

22、xna

23、可以任意小，要它有多小就有多小。以数列xn=为例，如果要

24、xn0

25、=小于，那么只要n>100,即从第101项其，以后的一切项均能满足这个要求；如果要

26、xn0

27、<,那么只要n>1000，即从第1001项起，以后的一切项均能满足这个要求；一般地，如果要

28、xn0

29、<那么只要n>10k，即从第10k+1项起，以后的一切项均能满足这个要求。这就是“当n无限增大时，无限接近于常数0”的含义。比如,对于刚才的数列1.有若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

30、xna

31、<

32、,例1.若xn=c(常数),则若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

33、xna

34、<,证:>0.由于

35、xn–1

36、=

37、c–c

38、=0取N=1,当n>N时,有

39、xn–c

40、=0<故即常数的极限就是常数本身.例2.已知证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例3.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取机动目录上页下页返回结束baxb+证:反设xn收敛,但极限不唯一,设b

41、质定理1.若数列收敛,则其极限唯一.由极限定义,1,当n>N1时,N2,当n>N2时,取N=max{N1,N2},则当n>N时,上两式同时成立.从而当n>N时,有矛盾,故极限唯一.若>0,正整数N,使得当n>N时,都有

42、xna

43、<,几何意义:数列的有界性.定义:设有数列xn=f(n),若M>0,使得

44、xn

45、M,n=1,2,….则称数列xn有界,否则,称xn无界.由于

46、xn

47、MMxnMxn[M,M].故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间[M,M