§2函数极限性质

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1、《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院§2　函数极限的性质教学章节：第三章函数极限——§2　函数极限的性质教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质.教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等.教学重点：函数极限的性质及其计算.教学难点：函数极限性质证明及其应用.教学方法：讲练结合.教学过程：引言在§1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1、；2、；3、；4、;5、；6、.它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以为代表来叙述并证明这些性质.至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可.一、函数极限的性质性质1（唯一性）如果存在

2、，则必定唯一.证法一设，,则当时，,(1)当时，.(2)取，则当时（1）和（2）同时成立.因而有,(3)5《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院由的任意性，（3）式只有当时，即时才成立.证法二反证,如，且，取，则，使当时，,即 矛盾.性质2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界.证明取,由,,当时,有,即，说明在上有界，就是一个界.性质3（保序性）设，.1）若，则，当时有；2）若，当时有，则.（保不等式性）证明1）取即得.2）反证，由1）即得.注若在2）的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.推论（局部保号性）如果且，则使当时与同号.性质4（迫敛性）　设，且在

3、某内有，则.5《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院证明,由，，使得当时，有，即.又由，，使得当时，有，即.令，则当时，有即，故.性质6（四则运算法则）若和都存在，则函数当时极限也存在，且1）；2）.又若，则当时极限也存在，且有3）.3）的证明只要证，令，由，使得当时，有，即.,仍然由，,使得当时，有.取，则当时，有即.二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限.已证明过以下几个极限：（注意前四个极限中极限就是函数值）这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,利用极限性质，特别是运算性质求

4、极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.5《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院例1　求.例2　求.例3求.例4注关于的有理分式当时的极限.参阅[4]P37.例5[利用公式].例6例7例8例9例10已知求和参阅[4]P69.作业教材P51—521-7，8(1)(2)(4)(5)；补充题已知求和()例11求和.解法一又解法二，由且原式极限存在，5《数学分析》上册教案第三章函数极限武汉科技学院理学院，即.5