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时间:2018-12-26
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1、15§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理1.极限的运算规则记号“”和“”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“”,则各种形式的函数极限,都具有像数列极限那样的运算规则.要证明它们,也属于高等微积分(证明在第二篇中).设在同一个极限过程中,有极限和.⑴(为常数);(齐次性)⑵;(可加性)⑶;(乘积的极限等于极限的乘积)⑷;(商的极限等于极限的商)⑸若,则;(极限运算的单调性)⑹若,且,则也有极限.(夹挤规则)根据夹挤规则,若,且在极限过程中是有界变量,则应直接写成因为且而不能写成[
2、逻辑错误!]O图1-15yx例如函数(图1-15),应当直接写成(因为)而不能写成因为不存在极限(图1-10).例3设有多项式则1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理其中,把看作它自己的函数时,显然有.同样,若另有多项式且根据“商的极限等于极限的商”和上面的结果,则有读者从例3中看到,对于多项式和有理函数来说,它们在定义域内每一点处的极限值等于它们在该点的函数值.换句话说,多项式和有理函数(即多项式的商)在自己定义域内每一点处都是连续的.例4因为(差化积),所以因此,.同理,.于是,又有例4说明,简单三角函数在自
3、己定义域内每一点处也都是连续的.例5证明(因此中学数学中规定是合理的).证我们先证明右极限.不妨设,令(的整数部分)因为,即,所以.于是或又因为(见第章例3),所以.其次,当时,,根据已证的结论,因此,(因为左右极限相等)1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理根据,则对任意,都有即指数函数在每一点也都是连续的.在定义域内每一点处都连续的函数,称为连续函数.因此,多项式、有理函数、简单三角函数和指数函数都是连续函数.2.单调有界原理近代极限理论中有所谓“极限存在性”问题.讨论这个问题会涉及到实数的一个重要性质,即“
4、实数连续性质”.实数的这个性质与下面的“单调有界原理”是等价的(证明在第二篇中):变量在无限变化过程中,若它的值单调增大有上界(或单调减小有下界),则必有极限.具体到数列,则单调有界原理只有两种说法,即单调增大有上界,则必有极限;或单调减小有下界,则必有极限.可是,对于函数来说,由于自变量有四种(单调)变化方式而函数又可能单调增大或单调减小,所以关于函数极限的单调有界原理就会有八种说法(见下图1-16).其中两种对偶说法是[见图①]:当时,若函数单调增大有上界,则有极限;AAOyxOxcyxyOOyxBBBBAA①②③④图
5、1-16当时,若函数单调减小有下界,则有极限.请你看图1-16,说出其他情形下的单调有界原理.【点评】在数学专业用的微积分教科书中,有所谓“极限存在的柯西准则”,函数的“可积准则”等.数学中说的“准则”是指那些充分必要条件(见[前苏]辛钦著《数学分析简明教程》的脚注).可是国内有许多非数学专业用的《微积分》或《高等数学》的教科书中,都把“单调有界原理”说成“极限存在的准则”.虽然从逻辑上说,“单调有界原理”与“柯西准则”是等价的,但不能把前者也说成“准则”,因为有极限的数列或函数不一定是单调的.上述不妥的说法,可能出自中译
6、本《数学分析习题集》([前苏]吉米多维奇著,第6页),但它是翻译上的疏忽(把“判别法”与“准则”译颠倒了),不是原书中的错误.1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理例6设和为正数,并令,证明有极限.证先证有极限,然后求出极限值.根据“算术平均值不小于几何平均值”,则(数列有下界)另一方面,,即(数列单调减小)因此有极限(单调有界原理).设极限,在两边让,则得,化简为,即(注意).例7设..证明有极限证,一般地,,即数列是单调增大的;又,而一般地(或用数学归纳法),则有(即有上界)因此,有极限.设,并在两端让,则得
7、,即.注意,因此,,即.【注释】①对偶性我们把那些成双且又处于两极对立状态的概念、结论(命题)或方法之间的关系,称为“对偶关系”.例如,日常生活中的“上”与“下”,“左”与“右”;实数集合的“上界”与“下界”等.它们每两个都是对偶概念.“单调增大有上界的数列必有极限”与“单调减小有下界的数列必有极限”是相互对偶的结论(定理).在数学中,对偶的结论常用对偶的方法来证明(见下面等价性的证明).②等价性在相同的前提下,用结论1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理A能够推出结论B,且又用结论B能够推出结论A,则称“结论A
8、与结论B是等价的”.例如,(A)“单调增大有上界的数列必有极限”;(B)“单调减小有下界的数列必有极限”.它们之间的等价性可以这样来证明:(A)(B)设数列单调减小有下界,即则,即数列单调增大有上界.根据结论(A),必有极限,因此,也有极限.用类似的方法可以证明(B)(A).③逆否命题读者在中学数学中都
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