§1-2函数极限的运算规则

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1、15§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理1.极限的运算规则记号“”和“”都称为极限过程.若把它们统一地表示成“”，则各种形式的函数极限，都具有像数列极限那样的运算规则.要证明它们，也属于高等微积分（证明在第二篇中）.设在同一个极限过程中，有极限和.⑴（为常数）；（齐次性）⑵；（可加性）⑶；（乘积的极限等于极限的乘积）⑷；（商的极限等于极限的商）⑸若，则；（极限运算的单调性）⑹若，且，则也有极限.（夹挤规则）根据夹挤规则，若，且在极限过程中是有界变量，则应直接写成因为且而不能写成[

2、逻辑错误!]O图1-15yx例如函数（图1-15），应当直接写成(因为)而不能写成因为不存在极限(图1-10).例3设有多项式则1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理其中，把看作它自己的函数时，显然有.同样，若另有多项式且根据“商的极限等于极限的商”和上面的结果，则有读者从例3中看到，对于多项式和有理函数来说，它们在定义域内每一点处的极限值等于它们在该点的函数值.换句话说，多项式和有理函数(即多项式的商)在自己定义域内每一点处都是连续的.例4因为(差化积)，所以因此，.同理，.于是，又有例4说明，简单三角函数在自

3、己定义域内每一点处也都是连续的.例5证明（因此中学数学中规定是合理的）.证我们先证明右极限.不妨设，令（的整数部分）因为，即，所以.于是或又因为（见第章例3），所以.其次，当时，，根据已证的结论，因此，(因为左右极限相等)1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理根据，则对任意，都有即指数函数在每一点也都是连续的.在定义域内每一点处都连续的函数，称为连续函数.因此，多项式、有理函数、简单三角函数和指数函数都是连续函数.2.单调有界原理近代极限理论中有所谓“极限存在性”问题.讨论这个问题会涉及到实数的一个重要性质，即“

4、实数连续性质”.实数的这个性质与下面的“单调有界原理”是等价的(证明在第二篇中)：变量在无限变化过程中，若它的值单调增大有上界(或单调减小有下界)，则必有极限.具体到数列，则单调有界原理只有两种说法，即单调增大有上界，则必有极限；或单调减小有下界，则必有极限.可是，对于函数来说，由于自变量有四种（单调）变化方式而函数又可能单调增大或单调减小，所以关于函数极限的单调有界原理就会有八种说法(见下图1-16).其中两种对偶说法是[见图①]：当时，若函数单调增大有上界，则有极限；AAOyxOxcyxyOOyxBBBBAA①②③④图

5、1-16当时，若函数单调减小有下界，则有极限.请你看图1-16，说出其他情形下的单调有界原理.【点评】在数学专业用的微积分教科书中，有所谓“极限存在的柯西准则”，函数的“可积准则”等.数学中说的“准则”是指那些充分必要条件（见[前苏]辛钦著《数学分析简明教程》的脚注）.可是国内有许多非数学专业用的《微积分》或《高等数学》的教科书中，都把“单调有界原理”说成“极限存在的准则”.虽然从逻辑上说，“单调有界原理”与“柯西准则”是等价的，但不能把前者也说成“准则”，因为有极限的数列或函数不一定是单调的.上述不妥的说法，可能出自中译

6、本《数学分析习题集》([前苏]吉米多维奇著，第6页),但它是翻译上的疏忽(把“判别法”与“准则”译颠倒了),不是原书中的错误.1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理例6设和为正数，并令，证明有极限.证先证有极限，然后求出极限值.根据“算术平均值不小于几何平均值”，则（数列有下界）另一方面，，即（数列单调减小）因此有极限(单调有界原理).设极限，在两边让，则得，化简为，即(注意).例7设..证明有极限证，一般地，，即数列是单调增大的；又，而一般地(或用数学归纳法)，则有（即有上界）因此，有极限.设，并在两端让，则得

7、，即.注意，因此，，即.【注释】①对偶性我们把那些成双且又处于两极对立状态的概念、结论(命题)或方法之间的关系，称为“对偶关系”.例如，日常生活中的“上”与“下”，“左”与“右”；实数集合的“上界”与“下界”等.它们每两个都是对偶概念.“单调增大有上界的数列必有极限”与“单调减小有下界的数列必有极限”是相互对偶的结论(定理).在数学中，对偶的结论常用对偶的方法来证明(见下面等价性的证明).②等价性在相同的前提下，用结论1515§1-2函数极限的运算规则·单调有界原理A能够推出结论B，且又用结论B能够推出结论A，则称“结论A

8、与结论B是等价的”.例如，(A)“单调增大有上界的数列必有极限”；(B)“单调减小有下界的数列必有极限”.它们之间的等价性可以这样来证明：(A)(B)设数列单调减小有下界，即则，即数列单调增大有上界.根据结论(A)，必有极限，因此，也有极限.用类似的方法可以证明(B)(A).③逆否命题读者在中学数学中都