定积分的几何应用(I)

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1、第六节定积分的几何应用引从定积分的定义可知，定积分可以用于求解曲边梯形的面积.那么定积分在几何上还有其它方面的应用吗？定积分应用的一般方法和步骤是什么呢？一、微元法微元法也称微元分析法,它是定积分应用的基础,给出了用定积分方法解决各种求和问题的一般方法.定积分作为一种数学方法,研究的是某些量的计算问题.记所研究的量为Q,量Q如果符合下列条件:(1)Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;(2)Q对于区间[a,b]具有可加性,也就是说,如果把区间[a,b]分成许多部分区间,则Q相应地分成许多部分量,而Q等于所有部分量之和;(3)Q=dQ(x

2、)+o(x).则整体量微元法或微元分析法遵循如下三个步骤:第一步:分割把区间[a,b]分为n个小区间（区间微元），f(x)为高，x为底的小矩形的面积f(x)dx=dA(面积微元).第二步:求和面积A的近似值为第三步:求极限得面积的精确值A=lim=由上诉分析，我们抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量（总量），表示为定积分的方法——微元法。Ⅰ。求微元写出典型小区间上的局部量的近似值这就是局部量的微元Ⅱ。求积分即把微元在区间[a,b]上相当于把作积分表达式求它在[a,b]上的定积分即这就是微元法“无限积累”起来一、平面图形的面积1直角坐标系作为一般

3、情况讨论，设平面图形由[a,b]上连续的两条曲线y=f(x)与y=g(x)及两条直线x=a,x=b所围成在[a,b]上任取典型小区间[x,x+dx]与它相对应的小曲边梯形的面积为面积微元dA=f(x)dxdA可用高为底为dx的矩形面积近似表示即故ab当dx很小时例1求由曲线y=x2与y=2–x2所围成的平面图形的面积.解解方程组求得两抛物线的交点为(–1,1),(1,1),故所求平面图形(如图5–10)的面积为(1,1)(-1,1)Oxy1-1y=x2y=2-x2xx+dx所围图形的面积解首先定出图形所在的范围解得交点为（2，-2）和（8，4）若

4、取x为积分变量在[x,x+dx]上取部分量则对于x的不同值局部量的位置不同其上、下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂如下图例2计算以y为变量计算将会简单在[-2,4]上任取一小区间其上相应的窄条左、右曲边分别为但若将这一面积看作是分布在区间[-2，4]上由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化上述问题的一般情况是平面区域由[c,d]上连续的曲线及直线y=c,y=d所围成则其面积为cd例3求椭圆所围成区域的面积.解椭圆关于坐标轴对称,见图,yOxxx+dxba它在第一象限部分面积的4倍,因此所

5、求面积为2极坐标系某些平面图形，用极坐标来计算是比较方便的若曲线由极坐标方程给出极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形而是由射线所围成的称为曲边扇形的区域可用半径为圆心角为由于曲边扇形的面积分布故面积元素为的圆扇形的面积来近似解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的对称性和等量关系来简化计算。三、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体,这条直线叫做旋转轴.由连续曲线y=y(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积可

6、用定积分计算.以x为积分变量,x[a,b]取[x,x+dx][a,b],在[x,x+dx]上立体的体积可以近似看成以y(x)为底面yOxxx+dxy=f(x)ab元素为dV=[f(x)]2dx.旋转体的体积为半径,高为dx的小圆柱体的体积,见图5-17,则体积类似地,如果旋转体是由连续曲线x=(y),直线y=c,y=d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转yOxdx=(y)一周而成的立体,见图5–18,则体积为例7计算由椭圆所围成的图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积.解这个旋转体可以看成由半个椭圆而成的立体,见图5-19,及x轴围成的图形绕

7、x轴旋转一周图5-19yOxxx+dxab特殊地,当a=b时,得球的体积求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.求旋转体的体积（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）小结思考题两边同时对求导xyo积分得思考题1解答所以所求曲线为不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．思考题2解答练习题练习题答案练习题练习题答案