定积分换元法和分部积分法(I)

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1、第三节定积分换元法和分部积分法定积分的换元分部积分一、换元法例1.解:Newton-Leibniz公式,若F'(x)=f(x),则对于第一换元法,直接求出原函数,用N-L公式.关于换元积分法有定理1.设i)函数f(x)在[a,b]上连续,ii)函数x=(t)在区间[,]上有一个连续导数;iii)当t,a(t)b,且a=(),b=()则(1)(1)的含意:用新的变量的新的积分代替原积分限,无需将原函数代回原变量.证明:(1)式右、左均代表一个数,我们验证这两个数相等.由i)知f(x)在[a,b]上有原函数.设为F(x),又由复合函数求导法则.和

2、ii)知F((t))是f((t))'(t)在[,]上的一个原函数.由Newton-Leibniz公式有及从而(1)式成立.例2.解:令x=asint.0tax=asintx0taxax=asint0ta2x曲线下方图形面积相等注意定理1中条件iii)的要求1(t)的值域:a(t)b2端点对应:a=(),b=()x=at=x=bt=这两个要求不能分割.定理1.设i)函数f(x)在[a,b]上连续,ii)函数x=(t)在区间[,]上有一个连续导数;iii)当t,a(t)b,且a=(),b=()则(1)–aa

3、sinta,值域不在区间[0,a]之内,taaaaa例3.解:例4.(i)若f(x)为偶函数,则(ii)若f(x)为奇函数,则aaaa证:(i)在第一个积分中(ii)由(i)的证明过程可知例5.若f(x)为定义在(,)上、周期为T的周期函数,且在任意有限区间上可积,则aR,有y=cosxxy0证:而故等式成立.例6.证:特别地有二、分部积分法定理2.设u(x),v(x)在[a,b]上可导,且u'(x),v'(x)R([a,b]),则有分部积分公式(2)证:由已知可得u(x)v'(x),u'(x)v(x)R([a,b]),而(u(x)v(x))'=u

4、'(x)v(x)+u(x)v'(x)对上等式从a至b积分得由此即得公式(2).例7.解:由公式得例8.解:例9.解:则而易求得则当n为偶数时则当n为奇数时值得注意的是由例6可知例10.解:由已知及分部积分公式得由此即得第四节反常积分定积分条件积分区间有限被积函数有界推广定积分积分区间无限被积函数无界一、无穷积分1.定义:设函数f(x)在[a,+)上有定义,b>a,f(x)在[a,b]上可积,若极限(1)存在,称函数f(x)在[a,+)上的积分收敛,记称为函数f(x)在[a,+)上的无穷积分.若(1)式极限不存在,称f(x)在[a,+)上的积分发散.abxy0y

5、=f(x)例1.解:=1xy0y=e–x1例2.解:考虑1bxy0例3.使两个带电粒子从初始距离a分开到距离b所需能量由给出,其中q1,q2是电荷的数量,k为常数.若q1,q2的单位为库仑(C),a,b是米(m),E的单位为焦耳(J).k=9109.一个氢原子由一个质子和一个电子组成,它们带有数值为1.610–19C的相反电荷.求使氢原子激发(即使电子从其轨道移动到离质子无穷远处)的能量.假设电子和质子之间的初始距离为玻尔半径RB=5.310–11m.解:因为由初始距离RB移动到最终距离的能量由广义积分表示为代入使用的单位(E的单位为J),有这是移动一个微尘粒离

6、开地面0.00000001cm所需能量的量值,(换句话说不很大!)比较一下,移动彼此相距无穷远的两个相同符号的1C的电荷到相距1m以内所需要的能量大约等于使100万头大象离开地面15cm所需要的能量.广义积分被用作分离氢原子所需能量的模型是因为通过无穷大的距离与通过很大的有限距离分离电子和质子所需能量之间的差是可以忽略不计的.而广义积分可以在不知道最终距离的情况下计算出来.2.其它情形意义若积分的上、下限为和将会怎么样呢?在这种情况下,我们在某一点分开原来的积分并将其记为两个新的广义积分的和.可以某一(有)限数c来定义若两个新的广义积分中任一个发散,我们说原积分发

7、散.仅当每个新的广义积分都有有限值时,将其相加得到原积分的有限值.很容易证明上述定义不依赖于c的选择.3.收敛与发散判别例4.确定指数p的值,使积分收敛或发散解：对p1,重要的问题是b的指数是正数还是负数.假如是负数,则当b趋向无穷时,b–p+1趋向于0.若指数为正数,则b–p+1当b趋于无穷时无界增长.因此,若–p+1<0即p>1则积分收敛,若p<1则积分发散.若p=1时又怎么样呢？在这种情况下我们有因为当b趋于无穷时b变得任意大,此积分无界,我们得出结论当p1时,发散,当p>1时积分有值定理1(比较判别法)设(1)当(2)当xy0