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1、第四章二、习题选讲一、知识点复习第四章机动目录上页下页返回结束习题课二、基本积分表三、不定积分的性质一、原函数与不定积分的概念第一节机动目录上页下页返回结束不定积分的概念与性质第四章一、原函数与不定积分的概念机动目录上页下页返回结束定义1.若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足在区间I上的一个原函数.则称F(x)为f(x)定理1.存在原函数.(p176Th1,下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数机动目录上页下页返回结束定理2.原函数都在函数族(C为任意常数)内.定义2.在区间I上的原函数全体称为
2、上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积表达式.—积分变量;(P135)若则(C为任意常数)C称为积分常数不可丢!记作机动目录上页下页返回结束二、基本积分表(P137表4.1)从不定积分定义可知(p135定义2之后）:或或利用逆向思维(k为常数)机动目录上页下页返回结束或或机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、不定积分的性质推论:若则机动目录上页下页返回结束内容小结1.不定积分的概念•原函数与不定积分的定义•不定积分的性质•基本积分表(见P137)2.直接积分法:利用恒等变形,及基本积分公式进行积分.常用恒等变
3、形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质机动目录上页下页返回结束二、第二类换元法第二节一、第一类换元法机动目录上页下页返回结束换元积分法第四章第二类换元法第一类换元法基本思路机动目录上页下页返回结束设可导,则有一、第一类换元法定理1.则有换元公式(也称配元法即,凑微分法)机动目录上页下页返回结束常用的几种配元形式:万能凑幂法机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法机动目录上页下页返回结束利用积
4、化和差;分式分项;利用倍角公式,如二、第二类换元法机动目录上页下页返回结束第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,机动目录上页下页返回结束则有换元公式说明:被积函数含有时,除采用采用双曲代换消去根式,所得结果一致.(参考书上P148)或或机动目录上页下页返回结束三角代换外,还可利用公式小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或机动目录上页下页返回结束了解，参考华东师范大学编《数学分析》机动目录上页下页返回结束2.常用基本积分公式的补充(7)分母中因子次
5、数较高时,可试用倒代换令（p143例4.28)（p143例4.27)机动目录上页下页返回结束（p142例4.25)（p143例4.26)（p147例4.45)第三节由导数公式积分得:分部积分公式或1)v容易求得;容易计算.机动目录上页下页返回结束分部积分法第四章解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为机动目录上页下页返回结束反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数说明:分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的u,v函数
6、类型不变,解出积分后加C)3)对含自然数n的积分,通过分部积分建立递推公式.例4目录上页下页返回结束分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“反对幂指三”,前u后3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式机动目录上页下页返回结束第四节基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法初等函数求导初等函数积分机动目录上页下页返回结束一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分几种特殊函数的积分本节内容:第四章一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分式分解其中部分分式的形式为（p160定理
7、1）若干部分分式之和机动目录上页下页返回结束四种典型部分分式的积分:机动目录上页下页返回结束变分子为再分项积分机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.二、三角函数有理式的积分设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分机动目录上页下页返回结束则说明:通常求含的积分时,往往更方便(p164).的有理式用代换机动目录上页下页返回结束内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单
8、无理函数三角代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动目录上页下页返回结束简便,机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回
