大一高数微分中值定理与导数的应用3(III)普通班

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1、函数单调性的判别法第四节函数的单调性与曲线的凹凸性曲线凹凸性与拐点定理1单调增加;单调减少.一、单调性的判别法,0)(),()1(>¢xfba内若在证Lagrange中值定理(1)(2)例解定义域为练习：一阶导数的零点(即驻点)是单减和单增区间的分界点例解单调区间为定义域此时一阶导数不存在的点是单调区间的分界点.注：某些函数在定义区间上不是单调的,定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的,的分界点．但在各个部分区间上单调．则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间求函数单调区间的方法然后判定区间内导数的符号.例解定义域单增区间为单减区间为

2、区间内有限个点处导数为零,不影响区间的单调性.如,注单调增加.表明导数的零点(驻点)仅仅可能是单调区间的分界点.同样：导数不存在的点，也仅仅可能是单调区间的分界点.这些点两侧的函数单调性需要通过导数的符号进一步判断.例证证练习若令则只须证明单调增加.而Lagrange中值定理单调增加.从而?二、曲线凹凸性的与拐点如何研究曲线的弯曲方向图形上任意弧段位于所张弦的下方图形上任意弧段位于所张弦的上方定义1恒有凹(凸)观察：光滑的凹凸弧的切线有什么几何特征？凹弧的曲线段的切线斜率是单增的,是单增的,凸弧的切线斜率是单减的,是单减的.而利用二阶导数判断曲线的凹凸性从几何直观

3、上,随着x的增大,定理2二阶导数,凹(凸)凹凸性的判别法课下参阅其证明过程.例：所以，图形是凸的.解例解注凸变凹的分界点.定义连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.思考：拐点有什么特征？拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处.拐点的必要条件具有二阶导数,则点是拐点的必要条件为即：拐点可能在两类点中取到：二阶导数零点；二阶导数不存在的点.如何在两类点中进一步判断是不是拐点呢？拐点的充分条件(1)(2)(或x0为二阶导数不存在的点)求拐点的步骤：(1)(2)例解拐点拐点不存在定义域为(1)(2)(3)列表凸凹凸注意：指明拐点时，要写出其横纵坐标.例解讨论：图形是凹的，没

4、有拐点.即例证设图形是凹的.利用函数图形的凹凸性证明不等式:证用凹凸性证.例设则即证只要证令则所以即有得思考题作业作业册本节全部课下练习教材本节全部