中值定理与导数的应用(III)

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1、第三章微分中值定理与导数的应用本章将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题.作为导数应用的基础，先要介绍微分学的几个中值定理.一、微分中值定理三、泰勒公式四、函数的极值与最大值和最小值五、函数的几何性态二、洛必达法则第一节微分中值定理微分中值定理包括三个定理：罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理柯西(cauchy)定理.结果：总有水平切线存在曲线连续,每点都有不垂直于x轴的切线，观察一个几何现象----曲线的切线有水平切线曲线连续定理3.1（Rolle定理）若

2、函数满足下列条件：定理的几何意义：满足定理条件的函数，它的曲线上至少有一条平行于弦AB的切线.证分两种情形讨论：（1）若则f(x)在[a,b]上为一常数M,于是，在(a,b)内每一点都可取作为（2）若M>m,因则M,m中至少有有一点一个不等于f(a).设则在(a,b)内至少使得下面证：在[a,b]必有最大(小)值.最大值点不在[a,b]端点由假设知存在，存在.于是即故现在证：左导右导因是f(x)在[a,b]上的最大值,故有当时，根据极限的保号性，有当时，有同理，从而必然有例1证由零点定理，即为所求的实根.存

3、在且惟一矛盾,定理3.1（Rolle定理）若函数满足下列条件：定理3.2（Lagrange）几何意义：分析直线AB的方程构造辅助函数：即此时有证构造辅助函数：易知函数适合罗尔定理的条件：由罗尔定理，有一点可知在(a,b)内至少使得即由此，得注：称为有限增量公式.建立了函数在区间上的改变量与导数之间的关系,可用导数研究函数在区间上的变化性态.推论证例2证例3证有即定理3.3（Cauchy）小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理2.罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系：1.

4、注意微分中值定理成立的条件；3.中值定理的几个应用（1）证明方程根的唯一性（2）证明等式与不等式.思考题并写出用中值定理证明不等式的步骤.则有有对吗？即有相同导数的两个函数,只差一个常数.1.不对.但例实际上，则有有思考题参考答案证1.设一个函数2.满足定理条件3.根据什么定理课后作业课本习题3-15,7,8,11，12.选做：14，15