微分中值定理与导数的应用(III)

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1、微分中值定理与导数的应用第四章定理1（费马(Fermat)定理）设f(x)在内有定义，若f(x)在可导且对任意的∈有（或）,则第一节微分中值定理一、罗尔定理定理2(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足：(1)在[a,b]上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点∈(a,b),使得f()=0．在曲线上至少存在一点C,在该点曲线具有水平切线．证因为f(x)在[a,b]上连续,f(x)在[a,b]上必取得最大值M和最小值m．(1)如果M=m,则f(x)在[a,b]上恒等于常数M,因此

2、,对一切x∈(a,b),都有f(x)=0.于是定理自然成立.(2)若M＞m,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设M≠f(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,由费马定理知f()=0．例验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间[-1,3]上的正确性．注罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.显然函数f(x)=-2x+3在[-1,3]上满足罗尔定理的三个条件,解由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1∈(-1

3、,3),使f(1)=0．二、拉格朗日中值定理定理3若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间[a,b]上连续；(2)在开区间(a,b)内可导．则至少存在一点∈(a,b),使得证作辅助函数F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(x)满足罗尔定理的条件,故至少存在一点∈(a,b),使得F()=0,即因此得拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(a＜＜b)是(a,b)中的一个点,=a+(b-a)(0＜＜1),拉格朗日中值公式还可写

4、成f(b)-f(a)=(b-a)f[a+(b-a)](0＜＜1)a与b分别换成x与x+x,b-a=x,拉格朗日中值公式写成f(x+x)-f(x)=f(x+x)·x(0＜＜１).称为有限增量公式．例证推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)≡0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数．几何意义是斜率处处为零的曲线一定是一条平行于x轴的直线．证在(a,b)内任取两点x1,x2,设x1

5、f(x2)=f(x1).例证推论2若f(x)及g(x)在(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),有f(x)=g(x),则在(a,b)内,f(x)=g(x)+C(C为常数).证因[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)=0,由推论1,有f(x)-g(x)=C,即f(x)=g(x)+C,x∈(a,b)．三、柯西中值定理定理4(柯西中值定理)若函数f(x)和g(x)满足以下条件:(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,且g(x)≠0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得证若g(a)=g(b)

6、,则由罗尔定理,至少存在一点1∈(a,b),使g(1)=0,这与定理的假设矛盾.故g(a)≠g(b).作辅助函数F(x)满足罗尔定理的三个条件,于是在(a,b)内至少存在一点,使得从而有例证第二节洛必达(L’Hospital)法则一、型未定式定理1设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=0,g(x)=0；(2)f(x),g(x)在内可导,且g(x)≠0；(3)存在(或为∞)．则证由条件(1),设f(x0)=0,g(x0)=0.由条件(1)和(2)知f(x)与g(x)在U(x0)内连续设x∈,则f(x)与

7、g(x)在[x0,x]或[x,x0]上满足柯西定理的条件,当x→x0时,显然有→x0,由条件(3)得注意:(1)如果仍为型未定式,且f(x),g(x)满足定理条件，则可继续使用洛必达法则；(2)洛必达法则仅适用于未定式求极限,运用洛必达法则时,要验证定理的条件,当既不存在也不为∞时,不能运用洛必达法则．例解例解推论1设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=0,g(x)=0;(2)存在X＞0,当x＞X时,f(x)和g(x)可导,且g(x)≠0;(3)存在(或为∞)．则证令x=1/t,则x→∞时,t→0例解二、型

8、未定式定理2设f(x),g(x)满足下列条件：(1)f(x)=∞,g(x)=∞；(2)f(x)和g(x)在内可导,且g(x)≠0；(3)存在(或为∞)．则推论2设f(x)与g(x)满足(1)f(x)=,g(x)=;(2)存在X＞0,