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1、高等院校非数学类本科数学课程——多元微积分学大学数学（三）脚本编写：彭亚新课件制作：彭亚新第三讲多元函数导数主讲教师：彭亚新第一章多元函数微分学第三节多元函数的导数正确理解多元函数的全增量、偏增量的概念。正确理解偏导数的概念。了解偏导数的几何意义。熟练掌握偏导数的计算方法。会利用定义计算偏导数。知道二元函数的微分中值定理。本节教学要求：繁啦！烦多元函数的偏导数是一元函数导数的推广，其计算往往是借用一元函数的计算公式和方法，但实际计算通常较繁。在推广中有一些东西将起质的变化。我们通常介绍二、三元函数的情形，所得结果可以推广到更高元的函数中，一般不会遇到原则性问题。一.偏增量和全增量二
2、.多元函数的偏增量和全增量三.多元函数的偏导数请点击第三节多元函数的导数四.偏导数的几何意义偏增量或一.偏增量和全增量偏增量或全增量或表示为偏增量和全增量的几何解释例如:同学们不难将以上增量形式推广至空间中.函数的增量的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量.函数相应于自变量二.多元函数的偏增量和全增量函数在点处的偏增量为:及二元函数的偏增量沿此曲线计算的函数在点P处的增量为偏增量二元函数偏增量的几何解释或函数在点处的全增量为:二元函数的全增量函数在点处的全增量为:函数在点处的偏增量为:函数增量的点函数表示对于中的函数可仿此进行增量的定义其中全增量例函数的连续性能否用函数的
3、全增量描述？想想：能怎么描述？二元函数的偏导数定义三.多元函数的偏导数二元函数的偏导数定义变量x和y的偏导数均存在,则称函数若函数在点处关于在点处可偏导.在区域内的任一点若函数内可偏导.处均可偏导,则称函数在区域与一元函数的情况类似,函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数,一般仍称为函数在区域上的偏导数.下面讨论偏导数的计算方法可以看出:定义时,变量y是不变的,实际上,是对函数,将y视为常数,关于变量x按一元函数导数的定义进行的：实质上是哇！爽！求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数.实质上是求忘记了,请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任
4、何技术性的新东西.求偏导数时,只要将n个自变量中的某一个看成变量,其余的n－1个自变量均视为常数,然后按一元函数的求导方法进行计算即可.例例解由定义,此例也可用下列方式求解但最好采用前一种方法.例将y看成常数将x看成常数例解例将y看成常数时,是对幂函数求导.将x看成常数时,是对指数函数求导.例解以上的叙述虽然是对二元函数元及其以上的多元函数中去.进行的,但其结论可直接推广到三例例解例由k的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在,例解但是想想是什么问题?该例说明了一个重要问题：对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.例在热力学
5、中,已知压强P、体积V和温度T之间满足关系PV=kT,其中,k为常数,证明：从而例证警告各位！偏导数的符号是一个整体记号,与的商.不能像一元函数那样将看成是xyzO..四.偏导数的几何意义二元函数的偏导数存在,只是表明函数沿x轴和y轴方向是连续的,而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:五.二元函数的微分中值定理定理∵∴自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理,得证且有定理以及该结论可以推广到三元和三元以上的函数中.由中值定理,可将函数的全增量表示为
