多元函数概念预备知识

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1、1第七章多元函数微分学2§7.1预备知识本节学习空间解析几何的一些基本知识3一、空间直角坐标系与空间的点1．空间直角坐标系（三维空间）右手系横轴纵轴竖轴坐标原点坐标轴坐标平面卦限oxyz42．空间直角坐标系下点的坐标M（x,y,z):M(x,y,z)各坐标平面上的点﹑各坐标轴上的点的坐标有何特点?oxyzx0Py0QRz0M(x0,y0,z0)53．空间中两点间的距离公式①M1（x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)d=│M1M2│=②点M（x,y,z)到原点o的距离d=│oM│=M1M2oxyzoxzyM6二．空间曲面与方程1．曲面方程

2、的概念（1）曲面S和方程F（x,y,z)=0对于曲面方程曲面S和方程F（x,y,z)=0若：点M（x,y,z)∈SF(x,y,z)=0点M（x,y,z)SF(x,y,z)≠0xyzS.M(x,y,z)o7则称F(x,y,z)=0是S的方程；S是F(x,y,z)=0的图形(2)关于曲面研究的两个基本问题:①已知曲面→建立方程②已知方程→讨论曲面的形状（截痕法或称截口法；化为形状已知的曲面方程）8例如：⑴建立球面的方程⑵设点A(1,2,3)、B(2,-1,4)求线段AB的垂直平分面的方程⑶方程表示怎样的曲面？9解：⑴设球心为,半径为R则⑵设垂直平

3、分面上的点M(x,y,z)则⑶球心在(1,-2,0)，半径为的球面AB。M102．常见的空间曲面⑴平面方程ax+by+cz=d(a、b、c不全为0）坐标平面的方程：z=0——x0y面y=0——x0z面x=0——y0z面oxyz11例如：方程2x+3y=6x=Ay=Bz=C分别表示什么平面？(三元一次方程平面)oxyzABxyyxzzooCoxyz2x+3y=63212⑵柱面平行于定直线并沿曲线C（准线）移动的直线L（母线）形成的轨迹，称为柱面。平面是柱面的特例（当准线为直线）CLoxyzS已知直线13例如：方程①②③④都是柱面的方程R

4、RRzxyxyzoSSSS①②③④yzzxy14⑶二次曲面三元二次方程二次曲面常见的二次曲面：球面：oxyzS15椭球面：oxyzS16单叶双曲面：双叶双曲面：二次锥面：椭圆抛物面：双曲抛物面（马鞍面）：173．截痕法已知F（x，y，z）=0研究所表示的曲面的形状常采用截痕法：用坐标平面和平行于坐标平面的平面去截曲面，考察相截而得到的交线的形状；综合各种情况，描绘出曲面F（x，y，z）=0的大致形状oxzy——单叶双曲面S18例2oyzxS——双曲抛物面（马鞍面）19三.平面区域的概念1.邻域：2.内点：设E是一点集，P是一点，若，则称P为E的

5、内点。.PE203.边界点：且；且，则称P为E的边界点。4.开集：点集E的点都是内点，则称点集E为开集。如:PE12OxyE1.215.边界：点集E的边界点的全体称为E的边界。如：E1的边界是和6.连通区域：对于开集D，若，都可用折线（属于D）连结，则称D是连通集。7.开区域（区域）：连通的开集称为区域或开区域。如：及228．闭区域：开区域连同它的边界一起，称为闭区域如：及9．有界点集：设定点A，点集E，若使，有成立，则称E为有界点集。（否则无界点集）如：有界闭区域无界开区域．DD是有界闭域D是无界开域Dxyo23显然：①E的内点是E的

6、聚点；②E的边界点可能是E的聚点，例如，设，则（0，0）是E2的边界点又是聚点，但(0，0)E2；而点是E2的边界点又是聚点，但(x0,y0)E2从而，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E。。E210．聚点：对于点P和点集E，若内有无限多个点属于E，则称P为E的聚点。2411．空间：点的集合。空间点集合记号一维直线二维平面三维空间n维n维空间............2512．n维空间中两点P(x1,x2,…,xn)﹑Q(y1,y2,…,yn)间的距离13．n维空间中邻域﹑内点﹑边界点﹑区域﹑聚点等一系列概念，可类似1～10给出。