多元函数基本概念

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1、7.2多元函数的基本概念1.n维空间n元有序数组的全体所构成的集合记作中的每一个元素用单个粗体字母x表示,即定义:线性运算其元素称为点或n维向量.xi称为x的第i个坐标或第i个分量.称为n维空间,的距离定义为与零元0的距离为2.区域(1).邻域点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为(2).内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的内点；则称P为E的外点

2、;则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.D(3).开区域及闭区域若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称D是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;例如，在平面上开区域闭区域整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域;但非区域.对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界

3、域.否则称为无7.2.3多元函数的概念引例:圆柱体的体积三角形面积的海伦公式定义1.设非空点集点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作例如,二元函数定义域为圆域说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三、二元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切7.2.3多元函数的极限与连续例1.设求证:证

4、:故总有要证例2.设求证：证：故总有要证若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.例3.讨论函数函数例4.求解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故2.多元函数的连续性定义7.3例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断，称为间断线.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理

5、)(介值定理)闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:解:原式例5.求例6.求函数的连续域.解:备用题1.设求解法1令1.设求解法2令即2.是否存在？解:利用所以极限不存在.3.证明在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得