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1、第八章多元函数微分学第一节多元函数的基本概念教学目的：了解平面点集的相关概念；理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.了解二元函数连续的性质以及二元初等函数连续的性质.重点：理解并掌握多元函数的概念，会求简单的二元函数的极限，会证明简单的二元函数的极限不存在问题.难点：二元函数的极限不存在问题的证明.教学方法：启发式讲授教学过程：一、多维空间的点集(区域)1、维欧氏空间.2、中两点与的距离.3、邻域(1)点的的邻域.简记为.(2)点的的去心邻域.简记为.(3)为的聚点：,但不一定在内.例如：点集，和0为
2、点集的边界，面上的每一个点都是聚点（极限点）.结论：内点是聚点；边界点不一定是聚点；聚点也不一定是边界点.例如：集合的孤立点是边界点但不是聚点.6、区域(1)开区域:连通开集,简称区域.二、多元函数的概念1、【定义】：,（存在惟一）按法则与对应,称为的函数（定义在上的一个n元（实值）函数.其中集合为非空集合.记作或.(1)称为函数的定义域,记作.(2)称为函数的自变量,称为函数的因变量.(3)称为函数的值域,记作.说明：1.二元或二元以上的函数均称为多元函数.2.二元函数定义域为：曲面在平面上的投影.3.实维空间，实2维空间.例1(1)求的定义域．解：
3、所以的定义域为.（2）的定义域为.（3）的定义域为.(4)求的定义．解：，所求函数定义域为．说明：１）．在未加说明情况下，函数的定义域均指自然定义域．如定义域是，定义域是．2）．一元函数的单调性、奇偶性、周期性定义在多元函数中不在适用．但有界性定义仍然成立．多元函数有界定义：设有元函数，其定义域为，集合，若存在正数，则称在上有界．称为在上的一个界．例3复合函数（1）已知.（2）已知.（3）已知.提示：.（4）已知.2、多元函数(1)二元函数：时,函数称为二元函数.常写成.(2)三元函数：时,函数称为二元函数.常写成.(3)多元函数：时,函数称为多元函数
4、.另外,时,函数称为一元函数.3、二元函数图形——.表现为空间中的一个曲面.三、多元函数极限1、多元函数极限(1)【定义】：设区域,为区域的聚点,是一个常数.,,()时,恒有,则称为当时的极限.记作,或,.其中.（2）特别情况：时,极限为二元函数极限,常称为二重极限,记作（）.例4求证.证明:取当时,恒有.所以.另证：因为所以.(3)必需具有任意性.多元函数极限的存在，是指在内以任何方式趋近于时，函数都无限接近于反过来，如果当以不同方式趋近于时，函数趋近于不同的值，那末就可以断定这函数的极限不存在.还句话说：要说极限不存在，只需举一个反例就够了.例5讨
5、论的收敛性.解:令则，极限值随的变化而变化所以极限是发散的．例6证明下列极限不存在（１）：结果随变化．（２）：结果随变化．其极限值随的不同而变化，故极限不存在．2、二重极限计算多元函数极限同样具有一元函数极限类似的运算法则和性质（四则运算、复合函数的极限、两个重要极限、无穷小性质、等价无穷小、夹逼原理仍成立）,但罗必达法则不再成立.例7计算下列极限解：（１）.（２）因为所以＝０（３）＝（４）（５）（６）（7）又且，故.（根据：有界变量与无穷小量的积还是无穷小量）.计算为什么不正确？（因为只考虑了一种方式向原点趋进.）（8）求.解：因,由于,于是由夹逼原
6、理．例8(06.7)设,,,求(Ⅰ);(Ⅱ).解 (Ⅰ).(Ⅱ).例9 用极限定义证明 ．证明：，对于,时恒有 故．四、多元函数的连续性１．【定义】：１）设则在点处连续：．其中,区域,且为的聚点.2）在点间断：在点处不连续．3）在内连续：在区域内每一点连续．例10函数在点连续．例11函数在点间断．（函数在原点处的极限不存在）例12函数在圆周上没有定义,因此在此圆周上的每一点都间断．（注意：多元函数的间断点可以是一条曲线）显然,例10中的函数在整个内连续．而函数在闭区域上连续．２．结论：多元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)及复合函数均为连续函数．一
7、切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．从而在定义区域内有，如：，．五、有界闭区域上连续函数的性质【性质1】（有界性）：设在有界闭区域上连续，则在上必有界．【性质2】（最大值和最小值定理）：设在有界闭区域上连续，则在上必有最大值和最小值．【性质3】（介值定理）：设在有界闭区域上连续，是取得的两个不同的函数值,则在上取得介于之间的任何值．六、初等函数1、多元初等函数(1)多元多项式:例如:．(2)多元初等函数：多元多项式及六种（幂、指、对、三角、反三角函数）基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合步骤所构成的可用一个式子表示的函数称为多元初等函数．
8、例如：2、性质(1)一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的.(2)设在区域内为初等函数,,
