多元函数的基本概念(I)

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1、推广第六章多元函数微分学一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同第一节多元函数的基本概念一、Rn空间的有关概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性一、Rn空间的有关概念1、n维空间—Rn用Rn表示n元有序实数组(x1,x2,,xn)的全体构成的集合.即Rn={(x1,x2,,xn)

2、xkR,k=1,2,,n}.定义了线性运算的集合Rn称为n维(实)空间.元素x=(x1,x2,,xn)称为Rn中的一个点或n维向量,数xk称为x的第k个坐标或第k个分量.0=(0,0,…,0

3、)称为Rn的坐标原点.说明：设x=(x1,x2,xn),y=(y1,y2,yn)Rn,,R.1)Rn中x与y的线性运算x+y定义为:x+y=(x1+y1,x2+y2,,xn+yn).2)Rn中两点x与y之间距离为:当n=1,2,3时,分别为数轴、平面、空间两点间的距离．3)设a=(a1,a2,an)为Rn中的定元,若

4、

5、xa

6、

7、0,则称变元x在Rn中趋于定元a,记为xa.xa的充要条件是xkak(k=1,2,…,n).2、平面的有关概念1)邻域设P0(x0,y0)是

8、xoy平面上的一个点,是某一正数,与点P0(x0,y0)距离小于的点P(x,y)的全体,称为点P0的邻域,记为U(P0,),(圆邻域)P0点的去心邻域,记为说明：若不需要强调邻域半径,也可写成U(P0).点P0的去心邻域记为2)内点、边界点和聚点设点集ER2,点PR2.1)若存在点P的一个邻域U(P,),则称点P为E的内点.显然E的内点属于E.若存在点P的某邻域U(P)∩E=,则称P为E的外点.2)若在点P的任一邻域内都既有E的内点也有E的外点,则称P为E的边界点.E的边界点的全体称为E的边界,记作E

9、.3)若对任意给定的>0,点P的去心邻域内总有说明：a)内点一定是聚点；b)边界点可能是聚点；(聚点可以属于E,也可以不属于E)E中的点,则称点P是E的聚点.3)开集与闭集设点集ER2若E中每一点都是内点,则称E是R2中的开集.若E的余集Ec是R2中的开集,则称E是R2中的闭集.(若EE,则称E为闭集)例如即为开集．即为闭集．既非开集也非闭集.是有界点集；是无界点集．例如4)有界集与无界集5)区域、闭区域设非空点集DR2,若D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通的.连通的开集称为开区域,简称区域;开区

10、域连同它的边界一起称为闭区域.例如开区域闭区域3、n维空间Rn中邻域、区域等概念邻域：在R3空间中,(球邻域)内点、边界点、区域、聚点等概念也可类似定义．二、多元函数的概念引例1)圆柱体的体积2)定量理想气体的压强.定义映射f:DR称为定义在D上的n元函数,设非空点集DRn,记作点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数多元函数中也有自变量、因变量等概念.多元函数由对应法则f和定义域D两要素确定。规定多元函数的自然定义域是使算式所表达的函数有意义的x1,,xn所对应的

11、点P(x1,,xn)的全体.定义域为圆域图形为中心在原点的上半球面.例如1.二元函数2.三元函数定义域为单位闭球二元函数的几何意义：空间点集{(x,y,z)

12、z=f(x,y),(x,y)D}称为二元函数的图形,一般为空间曲面.例1(1)求的定义域．(2)求的定义域．(3)求的定义域．例2求的定义域．解所求定义域为例3求函数的定义域(r

13、适用：设有n元函数y=f(x),其定义域为DRn,集合XD.若垂存在正数M,使对xX，有

14、f(x)

15、M,则称f(x)在X上有界,M称为f(x)在X上的一个界.三、多元函数的极限说明：(1)定义中的方式是任意的；(2)二元函数的极限也叫二重极限.证故有总有证明：例1设若当点P(x,y)以不同方式趋于P0(x0,y0)时,函数趋于不同值或有的极限不存在,则可以断定函数极限不存在.例2设证明:不存在．解设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),则有k值不同极限不同,故不存在.确定极限不存在的方法：[方法一]点P(x,y

16、)沿某条特殊路径趋向于P0(x0,y0),若极限值不存在,则可断言极限不存在.[方法二]点P(x,y)沿不同路径趋向于P0(x0,y0),若极限值存在但不相等,则可断言极限不存在.点P(x,y)沿某些特殊路径(如y=kx)趋向于P0(x0,y0),若极限值与k有关,则可断言极