拉普拉斯变换及其应用(补充内容)

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1、拉普拉斯变换及其应用1拉普拉斯变换的定义2拉普拉斯变换的基本性质5习题4拉普拉斯变换应用实例3拉普拉斯反变换11拉普拉斯变换的定义Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工具。与线性常微分方程的经典求解方法相比，Laplace变换有如下两个显著的特点：●只需一步运算就可以得到微分方程的通解和特解。●微分方程通过Laplace变换转化成含有s的代数方程，然后运用简单的代数法则就可以得到代数方程在s域上的解，而只要再作一次Laplace反变换就可以得到最终我们所需的时域上的解。31拉普拉斯变换的定义一个定义在［0,∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)的

2、定义为在实际工程中，以时间t为自变量的函数f(t)通常都可以进行拉氏变换。拉氏变换将原来的实变量函数转化为复变量函数。拉氏变换是一种单值变换。和之间具有一一对应的关系。通常称为原函数，为象函数。1拉普拉斯变换的定义5常用函数的拉氏变换1拉普拉斯变换的定义单位阶跃函数的拉氏变换解即根据定义常用函数的拉氏变换（1）单位阶跃函数图1单位阶跃函数在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。(2)求指数函数的拉氏变换解：根据定义即常用函数的拉氏变换8常用函数的拉氏变换由数学归纳法，得9(4)单位脉冲函数d(t)的拉氏变换常用函数的拉氏变换图2单位脉

3、冲函数即(5)正弦函数解ℒ常用函数的拉氏变换即同理可得如ℒℒ常用函数的拉氏变换12原函数f(t)象函数F(s)d(t)t常用函数的拉氏变换拉普拉斯变换及其应用1拉普拉斯变换的定义2拉普拉斯变换的基本性质5习题4拉普拉斯变换应用实例3拉普拉斯反变换131.线性性质齐次性：设则拉氏变换也遵从线性函数的齐次性和叠加性叠加性：设则2拉普拉斯变换的基本性质2.微分性质设可得各阶导数的拉氏变换为2拉普拉斯变换的基本性质16证：2拉普拉斯变换的基本性质特别地,当时,2拉普拉斯变换的基本性质3.积分性质设原函数积分的拉氏变换为:2拉普拉斯变换的基本性质192拉普拉斯变换的基本性质4.位移性

4、质设205.延迟性质2拉普拉斯变换的基本性质设式中:为任意实数。的函数图形如图3所示。图3212拉普拉斯变换的基本性质6.初值定理若且存在则222拉普拉斯变换的基本性质7.终值定理若且存在则终值定理的应用条件为：（1）当t→∞时，f(t)有意义（有极限）。例如无极限，那么就不能应用终值定理。（2）若已知F(s)时，当sF(s)的分母多项式的根处在虚轴左半s平面（原点除外）时，定理可用。例如，，分母多项式的根在虚轴上，定理不可用；，分母多项式的根在原点，可以用该定理。终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值

5、定理也是一个经常用到的运算定理。2拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换及其应用1拉普拉斯变换的定义2拉普拉斯变换的基本性质5习题4拉普拉斯变换应用实例3拉普拉斯反变换24253拉普拉斯反变换由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏反变换，它和拉氏变换是一一对应的。这里介绍利用部分分式展开，然后用查表的方法进行拉氏反变换，求取原函数。一一对应f(t)F(s)3拉普拉斯反变换控制系统中的象函数是s的有理分式，可写成下列形式：式中:系数和都是实常数，n和m是正整数，通常m

6、写为部分分式之和的形式，首先把F(s)的分母因式分解，即式中:为A(s)=0的根，称为F(s)的极点。27根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况：（1）A(s)=0且无重根若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之和，即系数可由右式求出：按上式将各待定系数全部求出后，再查表求出原函数。3拉普拉斯反变换283拉普拉斯反变换例8求的原函数将F(s)的分母因式分解为查表可求得原函数为习题：求的原函数将F(s)的分母因式分解为五、拉氏反变换303拉普拉斯反变换例9求的原函数将F(s)的分母因式分解为查表可求得原函数为31（2）A(s)=0且有重根设A(

7、s)=0有r个重根p1，则F(s)可写为3拉普拉斯反变换将上式展开成部分分式式中:为F(s)的重极点;，…，为F(s)的(n-r)个非重极点；，…，，，…，为待定系数323拉普拉斯反变换式中:为F(s)的重极点;，…，为F(s)的(n-r)个非重极点；，…，，，…，为待定系数33例求的原函数3拉普拉斯反变换将上式展开成部分分式其中所以习题：求的原函数五、拉氏反变换拉普拉斯变换及其应用1拉普拉斯变换的定义2拉普拉斯变换的基本性质5习题4拉普拉斯变换应用实例3拉普拉斯反变换35364拉普拉斯变换应用实例用拉氏变换求解线