自动控制原理补充拉普拉斯变换

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1、自动控制原理补充内容：拉普拉斯变换自动控制原理拉普拉拉普拉斯变换斯变换及1拉普拉斯变换的概念其反变2拉普拉斯变换的运算定理换（3拉普拉斯反变换补充4拉普拉斯变换应用举例）一．拉普拉斯变换的定义和存在定理•本章简要叙述拉普拉斯变换（和拉普拉斯反变换）的概拉念、运算定理和应用。普拉•拉普拉斯变换（TheLaplaceTransfrom）（简称拉氏变斯变换）是一种函数的变换，经变换后，可将微分方程式变换及换成代数方程，并且在变换的同时即将初始条件引入，其避免了经典解法中求积分常数的麻烦，因此这种方法可反变以使微

2、分方程求解题的过程大为简化。换（•在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模型是建补充立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立）在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变换是经典控制理论的数学基础。一．拉普拉斯变换的定义和存在定理1．定义设函数f(t)在t0时有定义，而且积分拉普st拉fte()dtsj是复变量0斯变在s的某个域内收敛，则由此积分所确定的函数可写成换及st(1)其Fs()fte()dt0反变换称上式为函数f(t)的拉普拉斯变换式，简称为拉氏变换式，并记作（补Fs

3、()Lft()充）F(s)并称其为f(t)的象函数，而f(t)成为F(s)的原函数。由象函数求原函数的运算称为拉氏反变换，记作1ft=LFs2．拉普拉斯变换的存在定理拉普若函数f(t)满足下列条件：拉斯变•当t0,;ft()0换及其当t0，ft()分段连续；反变tst换当，e较ft()衰减得更快。（补充本章幻灯片中的所有∞都表示的是+∞，请各位注意。）拉氏变换注意事项：•s是复数变量，s=δ+ωj拉普st拉•由于ftedt()是一个定积分，t将在新函数中消失。0斯

4、因此，Fs()只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变变换换将原来的实变量函数ft()转化为复变量函数Fs()及其。ft()Fs()反变•拉氏变换是一种单值变换。和之间具有一一换（对应的关系。通常前者称为原函数，后者为象函数。补充•由拉氏变换的定义式，可以从已知的原函数求取对应）的象函数。二、几种典型函数的拉氏变换例1：求单位阶跃函数（UnitStepFunction）的象函数。拉在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，普拉相当一个开关的闭合(或断开)。在求它的象函数前，首斯变先应给出单位阶跃函数

5、的定义式换0t0及其0(t0)11()t或1()t0t反1(t0)变1t换（补•在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作充用信号。由式(1)有）11ststFs()L1()t1edte0（2）0ss•例2：求单位脉冲函数(UnitPuiseFuction)的象函数。拉普•设函数0(t0)拉1()t(0t)斯变0(t)换1()t函数的特点是()tdt()tdtt1及

6、0其00反变单位脉冲函数()t定义为：()tlim()t换0（•()t在t0时及在t0时为0，在t=0时，()t由0补；又由0。但对时间的积分为1。即充）()tdtlim()tdt1000（3）•在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的拉普扰动信号。它的变换式由式（1）有拉斯st变Fs()L()t()tedt换0及其stst反lim()tedt()tedt变00换（s补1s

7、t1st1e充limedtlime0lim1(4)）000s0s•例3：求()t与1()t间的关系1•由以上两例可见，在区间（0，）里1()tt，拉d1()t11普而()t，所以()t拉dt斯变d1()tlimlim()t换0dt0及其•由上式有dt1()反()t变•dt（5）换（补由上式有1()t()tdt（6）充）由式（5）和式(6)可知：单位阶跃函数对时间的导数即为单位脉冲函数。反之，单

8、位脉冲函数对时间的积分即为单位阶跃函数。例4：求斜坡函数（RampFunction）的象函数。•斜坡函数的定义式为：拉普拉斯0(t0)变换ft()式中K为常数及Kt(t0)其反变换（•在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作补均匀变化的信号。在研究随动系统时，常以斜充）坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有：1ststKted拉Fs()LKtKtedt00s普拉