第二章-拉普拉斯变换-补充内容

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1、《机械控制工程基础》补充材料拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换的概念一、主要应用1、建立传递函数概念，以便于分析系统的动静态特性2、求解系统的微分方程，得出时间响应。二、拉普拉斯变换的数学表达式定义：设函数当时有定义，且广义积分在s的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为s的函数叫做函数的变拉普拉斯换，记作函数F（）也可叫做的像函数。若F（s）是的拉氏变换，则称是F（s）的拉氏逆变换（或叫做的原函数），记作说明：一般控制系统的数学模型均能满足拉氏变换条件。（1）t在内，≡0（2）在t≥0的任意有限区间内，是分段连续的（3）函数的积分形式存在并收敛即＜∞例1求指数函数（是常数）的拉氏变换。解有此

2、积分在s时收敛，有18《机械控制工程基础》补充材料所以例1求单位阶梯函数的拉氏变换。解此积分在时收敛，且有所以例2求（为常数）的拉氏变换。解例3求正弦函数的拉氏变换。解同样可算得余弦函数的拉氏变换下面我们给出狄拉克函数的拉氏变换。在许多实际问题中，常常会遇到一种集中在极短时间内作用的量，这种瞬间作用的量不能用通常的函数表示。为此假设18《机械控制工程基础》补充材料其中是很小的正数。当时，的极限叫做狄拉克函数，简称函数。的图形如图11-1所示。显然，对任何，有所以规定工程技术中常将叫做单位脉冲函数。例1求狄拉克函数的拉氏变换。解先对作拉氏变换的拉氏变换为用罗必达法则计算此极限，得所以。18《

3、机械控制工程基础》补充材料第一节拉氏变换的性质本节介绍拉氏变换的几个主要性质，它们在拉氏变换的实际应用中都很重要。这些性质都可由拉氏变换的定义及相应的运算性质加以证明，这里不再给出。性质1（线形性质或迭加性质）若、是常数，且则性质1表明，函数的线形组合的拉氏变换等于各函数的拉氏变换的线形组合。性质1可以推广到有限个函数的线形组合的情形。例1求函数的拉氏变换。解由性质1，有性质2（平移性质或位移定理）若，则性质2表明，像原函数乘以，等于其像函数作位移，因此性质2称为平移性质。例2求及。解由平移性质及得性质3（延滞定理）若18《机械控制工程基础》补充材料则函数与相比，滞后了个单位，若表示时间，

4、性质3表明，时间延迟了个单位，相当于像函数乘以指数因子，如图11-2所示。例1求函数的拉氏变换。解由及性质3可得例2求如图11-3所示的分段函数的拉氏变换。解由得性质4（微分性质）若，则性质4表明，一个函数求导后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换乘以参数再减去这个函数的初值。性质4可以推广到函数的阶导数的情形。推论若，则特别地，若，则18《机械控制工程基础》补充材料（11-2）性质4使我们有可能将的微分方程化作的代数方程。因此性质4在解微分方程中有重要作用。例1利用微分性质求。解令，则，，，由式（11-2）得即移项并化简，即得例2利用微分性质，求的拉氏变换。其中是正整数。解由且由式（11-

5、2），有而即得所以性质5（积分定理）若，则性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数。性质5也可以推广到有限次积分的情形除了上述五个性质外，拉氏变换还有一些性质，一并列于表11-1。另外，我们并不总是用定义求函数的拉氏变换，还可以查表求拉氏变换。现将常用函数的拉氏变换列于表11-2以供查用。18《机械控制工程基础》补充材料例1查表求。解由表11-2的9得再由表11-1的9得例2求。解由得18《机械控制工程基础》补充材料查表，所以第一节拉氏变换的逆变换前两节我们讨论了由已知函数求它的像函数的问题。本节我们讨论相反问题——已知像函数，求它的原函数，即拉氏变换的逆变换。

6、在求像原函数时，常从拉氏变换表11-2中查找，同时要结合拉氏变换的性质。因此把常用的拉氏变换的性质用逆变换的形式列出如下。设，，1．线形性质2．平移性质3．延滞性质例1求下列函数的拉氏逆变换：18《机械控制工程基础》补充材料（1）（2）（3）（4）解（1）由表11-2中的5，取得（2）由表11-2中的7，取得（3）由性质1及表11-2中的2、3得（4）由性质1及表11-2中的9、10得例2求的拉氏逆变换。解在用拉氏变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的像函数是有理分式。一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉氏变换表求出像原函数。第四节拉氏反变换的部分分式展开法讲述要点：1.D(s)

7、含单根（包括共轭复根）的部分分式展开；18《机械控制工程基础》补充材料2.D(s)含重根的部分分式展开。引言：当进行反变换的复频域函数并不刚好如表所列时，则需经过一定的处理（化大为小，各个击破），变换成如表中所列各式的线性组合。部分分式展开法：在电路理论中集中参数电路中的电压电流的象函数往往是s的有理函数，且一般为有理分式，如这类有理函数可按部分方式展开法处理，而避免按式进行复变函数的积分设N(s)，D(s)为实系数多项