(数学)模式识别下的数列求和(1)

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1、模式识别下的数列求和一、教学目标：熟练掌握各种形式下的数列求和方法。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有相应的求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，下面介绍用七种办法-----“七招”，希望对同学们有所启发：第一招——套用公式法：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本、最重要的方法：1．等差数列求和公式：2．等比数列求和公式：3、判断正误：(1)(2)数列求和注意什么?[例l]已知,求的前n项和．第二招——错位相减法：这是类比推导等比数列的前项和公式时所用的方法。这种方法主要用于求数列的前n项和，

2、其中分别是等差数列和等比数列。[例2]求和（其中）第三招——-逆序相加法：这是类比推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个.[例3](1)求证：(2)________第四招——分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开。可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．[例4]求数列的前n项和第五招——裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见以下情况：9①若是公差为d的等差数列，则②[例

3、5](1)求数列的前n项和．(2)求第六招——分段求和法：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn，对等差数列的绝对值求和也可仿效．[例6]数列中求[例7]等差数列中求其前n项的绝对值的和．第七招——活用通项法：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法．[例8】求之和．总结：数列的求和方法主要有(1)公式法；(2)错位相减法(3)裂项相消法(4)分组求和法(化为等差等

4、比数列或拆(并)项或分奇偶讨论)；(5)倒序相加法。二、巩固练习练习一：(1)数列满足,则此数列的前n项和为_________(2)数列满足,则此数列的前n项和________练习二：已知当时，二次函数取得最小值，等差数列的前n项和(1)求数列的通项公式(2)数列的前n项和为Tn，且求Tn练习三：(1)求数列的前l00项的和(2)求和：9(3)求的和。练习四：(1)求数列的前n项和．(2)已知数列｛n｝的通项公式是,求其前n项和(3)(2012广一模19)已知,求数列的前n项和Sn练习五：已知函数(1)求(2)求三、灵活运用：

5、1、已知为实数，数列满足,当时,求数列的前l00项的和S1002、已知对每个正整数k，在与之间插入个3(如在与之间插入个3,与之间插入21个3,与之间插入22个3，……，依此类推)，得到一个新的数列,设是数列的前n项和，试求S10003、已知数列满足,(1)求；(2)设,求证是等比数列，并求其通项公式；(3)在(2)条件下，求数列前100项中的所有偶数项的和S4、(2011·北京海淀区一模）已知数列的前n项和(n为正整数)．(1）令，求证数列是等差数列，并求数列9(2)令，，试比较与的大小，并予以证明．四、高考回放．1、(20

6、06第6)已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A．5B．4C.3D．22、(2007第5)已知数列的前n项和第k项满足则k=A．9B．8C．7D.63、(2008第2)记等差列的前n项和为，若，，则A．16B．24C．36D.484、(2009第4)己知等比数列满足且则当时，A．n(2n-l)B．(n+1)2C．n2D．(n-l)25、(2010第4)已知为等比数列，是它的前n项和．若，且与的等差中项为，则A．35B．33C．31D．296、(2011第11)等差数列前9项的和等于前4项的

7、和．若则k=_______9参考答案数列求和注意什么?注意项数和公式限制条件[列l]解：由，由等比数列求和公式得[例2]解：∵…………①设………②①-②得又因为，再利用等比数列的求和公式得：[例3](1)分析：注意组合的一个公式所以我们用逆序相加法进行尝试．证明：设…………①把①式右边倒转过来得：又由可得……②①-②得(2)[例4]解：设当=l时，9当≠1时，∴[例5](1)分析：本题符合上述的第三个公式中的情况，此时k=1的情形解:设则(2)[例6]分析：题目要我们求前2012项的和，从前3项可以看出它不是等差、也不是等比，

8、那么怎么办呢?先通过求出相应的几项可判断该数列应该是以6为一个周期的数列．解：设由可得[例7]分析：对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决．解：由已知可得，则当时，9，不妨设当时，当时，[例8]解；由于二、巩固练习练习一(1)(3)练习二：解(1)由题意得