数列求和方法总结[1]1

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1、数列求和方法总结1直接求和适用于等井数列或等比数列的求和（指前〃项和）问题，在四个量①,d（或q），仏色中，已知三个量时,可以求出S”来，我们简称为“知三求和”问题•它们的求和问题可以直接利用求和公式解决.等差数列前"项和公式：已知即弘心时，利用公式s”=求和；已知d],d,〃时，利用公式S“=naA+—d求和.2等比数列前"项和公式：已知时，利用公式s”=a】（l_g"）（gHi）求和;_q已知时，利用公式S“=—~（q丰1）求和.1—9例11丄丄丄•••+248W-1此式可看为-个等比数列的前〃项和,且此等比数列首项为1,公比为冷,故可直接运用等比

2、数列前〃项和公式=（qHl）求和.i—q]_少1-2"（其中mHn），试求例2一个等羌数列的前〃项和等于m；nij/n项和等于〃这个数列的前tn+z?项和.根据等并数列前兀项和公式运用所需的条件最好先求出数列首项①与公并d,然后运用Spa、+虫导〃求和.解设这个数列的首项为a,公差为d，根据已知条件，冇⑴•⑵n(n-l)naHa=m-2m{m-1)fmada-n2(1)x77?-⑵XZ/得[(”-1)-(m-1)]二m2-n2.因为〃Hm,所以d“迥也.mn29由此得叶+mn+〃・-m-na=mn于是,这个数列的前m+n项和为九”十+»+E"X；wl)d

3、=(/??+H)m2+mn+n2-m-nn+加一12(/n+n)mn2mn」=-(m+n).2转化求和适用于不是等差数列或等比数列，不便直接求其前〃项和的数列.2.1反序相加法将S”=at+a2+・・・+色与Sn=an+an_x+…+如两式相加，如果得到一个常A数列,其和为那么=例3已知/(X)满足X],兀2WR，当兀1+兀2=1时,/(兀1)+/(%2)=—，若2S〃=/(O)+/⑴+/斗+…+/U]+/(1)，"N,求S〃.5丿5丿<«)由f(兀1)+f{.X2)=—知只要自变量兀1+兀2=1即成立，又知21>7—10+1=1—I=1，…,则易求S"

4、.nn解因为S”=/(0)+*]+/斗+・・・+/〔口]+/(1),①VV5丿I农)所以S”*(1)+/(口]+・・・+/⑴+/(0).②2S”=[/(0)+/(1)]+伯+/(□]]+…+”(1)+凡0)]L5丿―丿」"+1个/A111=1122=—(n+1)・2V7所以S肿扣2+1)・2.2错项相减法如果数列仏〃•仇｝中的｛an｝和｛仇｝分别是等差数列和等比数列且等比数列公比为q(qH1)，那么S”=a®+a2b2+•••+anhn与qS”=a｝b2+a2h3+・・・+血“+1两式“错项相减”可以求出》・例4求和：1・2"+2・2心+3・2”一2+.

5、..+〃・2+S+l).l.数列2",2心,2”一2,・・・,2,1与1,2,3,・・・丿“+1分别是等比数列(§=丄)与等2差数列(d=l)，可考虑用“错项相减法”求和.解令S”=1・2"+2・2心+3・2"一2+・・・+/1・2+(拜+1)・1①则丄Sn=1・2心+2.2心+...+5_1).2+“.1+S+1)丄②①一②，得丄s〃=2n+2心+2"-2+・・・+2+1—丄G+1)22=2°+21+・・・+2心+2"一如+1)_2n+1-1H+12-1T~c”+i并3=z.22则S”=2n+2-n-3.2.3组合数法原数列各项可写成组合数形式，则可利

6、用公式c;;+c;「=c;爲求解.例5求1,1+2,1+2+3,・・・,1+2+3+・・・+〃的和.由1+2+3+・・・+x*G+1=)C；

7、知可利用“组合数法”求和.解S”=1+(1+2)+(1+2+3)+・・・+(1+2+3+・・・+同=1+3+6+巴凹2Y+cl+cf+...+略-C；+C；+C：•••+

8、此数列°”=555・・・5=§(999・・・9)=§(10"-1)故知拆项后是一个等比数列.n个5川个9/—匸—5上—匸—5解因为％=555・・・5=-(999・・・9)=一(10"—1)，“99=-(10-l)+-(102-l)+--«+-(10z,-1)999=-(10+102+•••+10/,-n)95一9一一10(10"-1)——n10-150(10"—1)5=n.819例7求证」—+」一+」一+•••+v丄3-1!4-2!5-3!102-100!2此为分数数列求和问题，仍然用裂项求和法，难点在于分母出现了阶乘，为此,需将数列的第£项作一些恒等变

9、形，以便将其分裂为两项之差•(k=12…，100)解因为仗+2)七!二伙+2)!