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时间:2019-07-27
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1、第六章状态反馈和状态观测器6.1状态反馈的定义及其性质6.2极点配置6.3应用状态反馈实现解耦控制6.4状态观测器2005-11-56.1状态反馈的定义及其性质则闭环系统的结构如图6.1.1所示。给定系统在系统中引入反馈控制律2005-11-5的状态空间表达式为:图6.1.12005-11-5状态反馈性质(1)时,为单纯的状态变量反馈。若,则,状态反馈就等价于输。出反馈。若,则2005-11-5①利用矩阵运算直接可推出(见书)(2)D=0时,可以求得闭环系统的传递函数阵②在图6.1.1中令并改用图6.1.2表示2005-1
2、1-5图6.1.22005-11-5和输出反馈所组成从到b的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵的公式求出,不难用(为单位矩阵)图中a和b之间的部分,可以看成是由系统2005-11-5于是,从到的传递函数矩阵即为定理6.1.1对于任何实常量矩阵,系统完全能控的充要条件是系统完全能控。2005-11-5证注意到系统和的能控性矩阵分别为由,可知的列向量可以由的列向量的线性组合表示。2005-11-5的列向量可以由()的的线性组合表示。列向量依此类推,不难看出≤的线性组合表示。这意味着的列向量可以由的列向量2005-11-5系统也可
3、看成是由系统经过状态反馈而获得的,因此,同理有于是定理得证。所以系统的能控性等价于系统的能控性,2005-11-5完全能控能观,引入反馈例6.1.1系统2005-11-5:不难判断,系统仍然是能控的,但已不再能观测。则闭环系统的状态空间表达式为2005-11-5定理6.2.1给定系统通过状态反馈任意配置极点的充完全能控。要条件6.2.1极点配置定理6.2极点配置2005-11-5证:只就单输入系统的情况证明本定理充分性:因为给定系统能控,故通过等价变换必能将它变为能控标准形这里,为非奇异的实常量等价变换矩阵,且有,2005
4、-11-5对式(6.2.2)引入状态反馈则闭环系统的状态空间表达式为2005-11-5其中,显然有系统的闭环特征方程为2005-11-5同时,由指定的任意个期望闭环极点可求得期望的闭环特征方程通过比较系数,可知2005-11-5由此即有又因为所以2005-11-5且对任意,有非奇异变换阵使系统结构分解必要性:采用反证法,设不完全能控,则必2005-11-5解:因为例6.2.1给定系统的状态空间表达式为求状态反馈增益阵,使反馈后闭环特征值为系统是状态完全能控,通过状态反馈控制律能配置闭环特征值。任意2021年7月19日1)由
5、得2)由得3)2005-11-54)5)2005-11-56)算法2:直接配置1)将带入系统状态方程,求得闭环系统的特征多项式其中,是反馈矩阵的函数2005-11-52)计算理想特征多项式3)列方程组并求解。其解,即为所求例6.2.2同例6.2.1。解:设所需的状态反馈增益矩阵k为因为经过状态反馈后,闭环系统特征多项式为的2005-11-5根据要求的闭环期望极点,可求得闭环期望特征多项式为2005-11-5比较两多项式同次幂的系数,有:8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得:即得状态反馈增益矩阵为:与例
6、6.2.1的结果相同6.2.3讨论状态反馈不改变系统的维数,但是闭环传递函数的阶次可能会降低,这是由分子分母的公因子被对消所致。(1)2005-11-5对于单输入单输出系统,状态反馈不会移动系统传递函数的零点。(2)若系统是不完全能控的,可将其状态方程变换成如下形式:(3)其中,的特征值不能任意配置。2005-11-56.3应用状态反馈实现解耦控制(4)系统综合往往需要将不稳定的极点,移到s平面的左半部,这一过程称为系统镇定。只有的全部特征值都具有负实部时,系统才能稳定。6.3.1问题的提出考虑MIMO系统(6.3.1)2
7、005-11-5式(6.3.2)可写为在的条件下,输出与输入之间的关系,可用传递函数描述:(6.3.2)2005-11-5每一个输入控制着多个输出,而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来,控制多输入多输出系统是颇为困的。例如,要找到一组输入如能找出一些控制律,每个输出受且只受一个输入的控制,这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为解耦控制,或者简称为解耦。三个基本假定:1)即系统的输出个数等于输入个数;2005-11-52)状态反馈控制律采用如下形式:3)输入变换矩阵为非奇异的图6.3.1+
8、-2005-11-5解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对,使得系统的传递函数阵显然,经过解耦的系统可以看成是由个独立单变量子系统所组成。2005-11-5图6.3.22005-11-56.3.2实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1)已知传递函数阵其中都
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