高中数学 平面向量的数量积

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1、第三节 平面向量的数量积1.平面向量的数量积(1)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则向量a与b的数量积是数量__________,记作a·b,即a·b=___________.规定:零向量与任一向量的数量积为_______.(2)向量的投影:设θ为a与b的夹角,则向量a在b方向上的投影是________;向量b在a方向上的投影是_________.(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度

2、a

3、与______________________________的乘积.

4、a

5、

6、b

7、cosθ

8、a

9、

10、b

11、co

12、sθ0

13、a

14、cosθ

15、b

16、cosθb在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ2.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=__________=__________;(3)分配律:a·(b+c)=______________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c3.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.1.若a·b=b·c,则a=c吗?【提示】不一定.b=0时就不成立.2.(a·b)c=a(b·c)一定成立吗?【提示】不一定

19、成立.(a·b)c是与c平行的向量,a(b·c)是与a平行的向量.而a与c关系不确定,故(a·b)c=a(b·c)不一定成立.3.你能根据数量积的定义证明:-

20、a

21、

22、b

23、≤a·b≤

24、a

25、

26、b

27、吗?【提示】设向量a与b的夹角为θ,则a·b=

28、a

29、

30、b

31、cosθ,∵0≤θ≤π,∴-1≤cosθ≤1,∴-

32、a

33、

34、b

35、≤a·b≤

36、a

37、

38、b

39、.【答案】C【解析】

40、a·b

41、=

42、a

43、

44、b

45、

46、cosθ

47、,故B错误.【答案】B【答案】D【解析】a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1⇒x=1.【答案】D5.已知a=(1,-3),b=(4,6

48、),c=(2,3),则(b·c)a等于()A.(26,-78)B.(-28,-42)C.-52D.-78【解析】∵b·c=4×2+6×3=26,∴(b·c)a=(26,-78).【答案】A(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为1,故B(1,0),C(1,1),D(0,1).又E在AB边上,故设E(t,0)(0≤t≤1).【答案】(1)-16(2)11(1)(2012·安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则

49、a

50、=______

51、__.(2)(2013·郑州模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.【思路点拨】(1)求出a+c的坐标后,利用(a+c)·b=0求出m;(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程,进而解方程求k的值.1.(1)非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔

52、a+b

53、=

54、a-b

55、⇔x1x2+y1y2=0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定a·b≠-1,导致求解受阻.2.(1)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的,若a=0时,a·b=0,但

56、不能说a⊥b.(2)a⊥b⇔a·b=0,体现了“形”与“数”的转化,用之可解决几何问题中的线线垂直问题.(2012·江西高考)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则

57、x+2y

58、=________.1.(1)在进行向量模与夹角的计算时,关键是求出向量的数量积,注意避免错用公式.如a2=

59、a

60、2是正确的,而a·b=

61、a

62、

63、b

64、和

65、a·b

66、=

67、a

68、

69、b

70、都是错误的.(2)①研究向量的夹角应注意“共起点”;②由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况,故它们的夹角分别是0°与180°.2.(1)求两向量的夹角,

71、进而确定两直线的夹角时,要注意两者的区别与联系.(2)求向量的长度,进而可解决平面上两点间的距离,求线段的长度问题.两个非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0.1.若a·b>0,能否说明a和b的夹角为锐角?2.若a·b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点,属中低档题目.平面向量数量积的计算,向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题;解答题以向量为载体,常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想.【答案】D1.(2012·辽宁高考)已知

72、两个非零向量a,b满足

73、a+b

74、=

75、a-b

76、,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.

77、a

78、=

79、b

80、D.a+b=a-b【解析】因为

81、a+b

82、=

83、a-b

84、,所以(a+b)2=(a-b)2,即a·b=0,故a⊥b.【答案】B【答案】A课后作业(二十六)

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1、第三节 平面向量的数量积1.平面向量的数量积(1)数量积的定义:已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则向量a与b的数量积是数量__________,记作a·b,即a·b=___________.规定:零向量与任一向量的数量积为_______.(2)向量的投影:设θ为a与b的夹角,则向量a在b方向上的投影是________;向量b在a方向上的投影是_________.(3)数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度

2、a

3、与______________________________的乘积.

4、a

5、

6、b

7、cosθ

8、a

9、

10、b

11、co

12、sθ0

13、a

14、cosθ

15、b

16、cosθb在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ2.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=__________=__________;(3)分配律:a·(b+c)=______________.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c3.平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.1.若a·b=b·c,则a=c吗?【提示】不一定.b=0时就不成立.2.(a·b)c=a(b·c)一定成立吗?【提示】不一定

19、成立.(a·b)c是与c平行的向量,a(b·c)是与a平行的向量.而a与c关系不确定,故(a·b)c=a(b·c)不一定成立.3.你能根据数量积的定义证明:-

20、a

21、

22、b

23、≤a·b≤

24、a

25、

26、b

27、吗?【提示】设向量a与b的夹角为θ,则a·b=

28、a

29、

30、b

31、cosθ,∵0≤θ≤π,∴-1≤cosθ≤1,∴-

32、a

33、

34、b

35、≤a·b≤

36、a

37、

38、b

39、.【答案】C【解析】

40、a·b

41、=

42、a

43、

44、b

45、

46、cosθ

47、,故B错误.【答案】B【答案】D【解析】a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1⇒x=1.【答案】D5.已知a=(1,-3),b=(4,6

48、),c=(2,3),则(b·c)a等于()A.(26,-78)B.(-28,-42)C.-52D.-78【解析】∵b·c=4×2+6×3=26,∴(b·c)a=(26,-78).【答案】A(2)如图所示,以AB,AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,由于正方形边长为1,故B(1,0),C(1,1),D(0,1).又E在AB边上,故设E(t,0)(0≤t≤1).【答案】(1)-16(2)11(1)(2012·安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则

49、a

50、=______

51、__.(2)(2013·郑州模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.【思路点拨】(1)求出a+c的坐标后,利用(a+c)·b=0求出m;(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程,进而解方程求k的值.1.(1)非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0⇔

52、a+b

53、=

54、a-b

55、⇔x1x2+y1y2=0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定a·b≠-1,导致求解受阻.2.(1)a⊥b⇔a·b=0是对非零向量而言的,若a=0时,a·b=0,但

56、不能说a⊥b.(2)a⊥b⇔a·b=0,体现了“形”与“数”的转化,用之可解决几何问题中的线线垂直问题.(2012·江西高考)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则

57、x+2y

58、=________.1.(1)在进行向量模与夹角的计算时,关键是求出向量的数量积,注意避免错用公式.如a2=

59、a

60、2是正确的,而a·b=

61、a

62、

63、b

64、和

65、a·b

66、=

67、a

68、

69、b

70、都是错误的.(2)①研究向量的夹角应注意“共起点”;②由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况,故它们的夹角分别是0°与180°.2.(1)求两向量的夹角,

71、进而确定两直线的夹角时,要注意两者的区别与联系.(2)求向量的长度,进而可解决平面上两点间的距离,求线段的长度问题.两个非零向量垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0.1.若a·b>0,能否说明a和b的夹角为锐角?2.若a·b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点,属中低档题目.平面向量数量积的计算,向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题;解答题以向量为载体,常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题,主要考查运算能力及数形结合思想.【答案】D1.(2012·辽宁高考)已知

72、两个非零向量a,b满足

73、a+b

74、=

75、a-b

76、,则下面结论正确的是()A.a∥bB.a⊥bC.

77、a

78、=

79、b

80、D.a+b=a-b【解析】因为

81、a+b

82、=

83、a-b

84、,所以(a+b)2=(a-b)2,即a·b=0,故a⊥b.【答案】B【答案】A课后作业(二十六)

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