高中数学 平面向量的数量积

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1、第三节　平面向量的数量积1．平面向量的数量积(1)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的数量积是数量__________，记作a·b，即a·b＝___________．规定：零向量与任一向量的数量积为_______．(2)向量的投影：设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是________；向量b在a方向上的投影是_________．(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

2、a

3、与______________________________的乘积．

4、a

5、

6、b

7、cosθ

8、a

9、

10、b

11、co

12、sθ0

13、a

14、cosθ

15、b

16、cosθb在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝__________＝__________；(3)分配律：a·(b＋c)＝______________．λ(a·b)a·(λb)a·b＋a·c3．平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．1．若a·b＝b·c，则a＝c吗？【提示】不一定．b＝0时就不成立．2．(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？【提示】不一定

19、成立．(a·b)c是与c平行的向量，a(b·c)是与a平行的向量．而a与c关系不确定，故(a·b)c＝a(b·c)不一定成立．3．你能根据数量积的定义证明：－

20、a

21、

22、b

23、≤a·b≤

24、a

25、

26、b

27、吗？【提示】设向量a与b的夹角为θ，则a·b＝

28、a

29、

30、b

31、cosθ，∵0≤θ≤π，∴－1≤cosθ≤1，∴－

32、a

33、

34、b

35、≤a·b≤

36、a

37、

38、b

39、.【答案】C【解析】

40、a·b

41、＝

42、a

43、

44、b

45、

46、cosθ

47、，故B错误．【答案】B【答案】D【解析】a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1⇒x＝1.【答案】D5．已知a＝(1，－3)，b＝(4，6

48、)，c＝(2，3)，则(b·c)a等于()A．(26，－78)B．(－28，－42)C．－52D．－78【解析】∵b·c＝4×2＋6×3＝26，∴(b·c)a＝(26，－78)．【答案】A(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为1，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．又E在AB边上，故设E(t，0)(0≤t≤1)．【答案】(1)－16(2)11(1)(2012·安徽高考)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则

49、a

50、＝______

51、__．(2)(2013·郑州模拟)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．【思路点拨】(1)求出a＋c的坐标后，利用(a＋c)·b＝0求出m；(2)利用向量垂直的充要条件和数量积的定义建立关于k的方程，进而解方程求k的值．1．(1)非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔

52、a＋b

53、＝

54、a－b

55、⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常见的错误是不能利用条件判定a·b≠－1，导致求解受阻．2．(1)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0时，a·b＝0，但

56、不能说a⊥b.(2)a⊥b⇔a·b＝0，体现了“形”与“数”的转化，用之可解决几何问题中的线线垂直问题．(2012·江西高考)设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则

57、x＋2y

58、＝________．1．(1)在进行向量模与夹角的计算时，关键是求出向量的数量积，注意避免错用公式．如a2＝

59、a

60、2是正确的，而a·b＝

61、a

62、

63、b

64、和

65、a·b

66、＝

67、a

68、

69、b

70、都是错误的．(2)①研究向量的夹角应注意“共起点”；②由于两个非零共线向量有方向相同和方向相反两种情况，故它们的夹角分别是0°与180°.2．(1)求两向量的夹角，

71、进而确定两直线的夹角时，要注意两者的区别与联系．(2)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离，求线段的长度问题．两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b⇔a·b＝0.1.若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？2．若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目．平面向量数量积的计算，向量垂直条件与数量积的性质常以客观题形式命题；解答题以向量为载体，常与平面几何、三角函数、解三角形、解析几何知识交汇命题，主要考查运算能力及数形结合思想．【答案】D1．(2012·辽宁高考)已知

72、两个非零向量a，b满足

73、a＋b

74、＝

75、a－b

76、，则下面结论正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．

77、a

78、＝

79、b

80、D．a＋b＝a－b【解析】因为

81、a＋b

82、＝

83、a－b

84、，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.【答案】B【答案】A课后作业（二十六）