函数及其性质

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1、教学目的:函数及其性质教学重点:基本初等函数教学难点:初等函数及其应用知识结构第一节初等函数知识结构函数定义域值域定义域每个元素有且只有一个对应值多对一一对一允许的情形:不允许的情形:一对多称f为A到B的函数记做b=f(1)一般地,y是x的像记做y=f(x),x称为自变量,y称为因变量称b为1的像定义域例1求的定义域D．解要使函数有意义必须满足即故函数性质函数的性质周期性单调性奇偶性有界性运算封闭性代数性质几何性质回主视图几何性质周期性单调性奇偶性有界性回主视图代数性质函数相等函数四则运算函数复合函数的逆运算封闭性回主视图有

2、界性则称函数设函数的定义域为，,若有常数，使对任意，都有在数集上有界．则称在上无界．如果不存在这样的正数,例2由于对任何实数，有．因此，函数在内有界．在整个定义域上有界的函数，其图象必介于直线与直线之间.函数性质单调性定义设函数的定义域为，区间若对上任意两点当时，有则称函数在区间上是单调增加的当时，有则称函数在区间上是单调减少的单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数单调性例题奇偶性设函数的定义域关于原点对称.，若有则称为偶函数;则称为奇函数．若有对任意奇偶性例题以周期性设函数的定义域为，如果存在正数对任意有成立，则称为周期

3、函数，称为的周期．例3证明：若是以为周期函数，则是以为周期的函数．证由于为周期，因此对任意成立．从而命题得证．函数性质偶函数偶函数的图象特征是关于轴对称．奇偶性奇函数奇函数的图象特征是关于原点对称．奇偶性奇偶性例题例4判断下列函数的奇偶性：解(1)故为偶函数．(2)故为奇函数．(3)，它既不等于也不等于，故是非奇非偶函数．函数性质时，有单调性例题例5判断函数的单调性．，由于当当时，有因此，函数在上单调减少,上单调增加.解函数的定义域为在函数性质运算封闭性具有某性质P的两函数经过某运算结果仍具有性质P,称性质P关于运算封闭

4、.例自然数关于加法,乘法和乘方运算封闭例函数有界关于加减乘运算封闭例单调递增函数关于加法和复合运算封闭例偶函数关于加减乘除法运算封闭例同周期函数关于加减乘除和复合运算封闭函数性质函数相等代数性质解:因为两函数定义域不同,所以,不相等.函数四则运算代数性质函数复合注意复合顺序书写顺序例题复合函数例题已知h(x),g(x),h(x)=f(g(x)),求f(x).代数性质这种题通常要求g(x)可逆,先求得将x代入得故函数的逆每个原像必须有像,且只能有一个像多对一一对一允许的情形:不允许的情形:一对多保持对应关系,改变对应方向,还是

5、函数吗?有两种情形将使得这种改向不再是函数:1.原来是多对一将变成一对多2.原来不是像的元素改向后没有像改向后还是函数的充要条件:1.原像与像只有一对一情形2.不存在没有原像的元素求函数的逆这种反向函数称为原函数的逆函数,求函数的逆例6求函数解去分母并解出变量与的记号互换，即得反函数为的反函数.函数及其逆函数及其逆若点在曲线上，则点必在曲线上．反之也对．函数与的图形关于直线对称代数性质基本初等函数幂函数指数函数对数函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数正割函数余割函数回主视图幂函数基本初

6、等函数过点(1，1)时在单增时在单减指数函数基本初等函数过点单增单减对数函数基本初等函数过点单增单减正弦函数基本初等函数奇函数余弦函数基本初等函数偶函数正切函数基本初等函数奇函数在每个周期内单增余切函数基本初等函数奇函数在每个周期内单减正割函数基本初等函数余割函数基本初等函数反正弦函数基本初等函数奇函数单增反余弦函数基本初等函数单减反正切函数基本初等函数奇函数单增反余切函数基本初等函数单减初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算与函数复合构成的，可以用一个式子表示的函数叫初等函数．定义域划分成若干部分,每一部分由初等函数表示

7、,且各部分交界处相同自变量值有相同函数值,称这种函数为分段函数.初等函数例7指出函数的复合关系，并求它的定义域．解复合关系：．要使y有意义，必须上面四个函数均有意义，即试将油桶的总造价y表示为油桶半径r的函数．已知上盖单位面积造价是侧面的一半，而侧面单位面积造价又是底面的一半．设上盖的单位面积造价为初等函数应用例8要设计一个容积为的有盖圆柱形贮油桶,解设油桶半径,则其底面积为于是桶高应为由题意，油桶的上盖造价为(元),侧面造价为(元),底面造价为(元)，故总造价为(元)．回主视图内涵与外延内涵是确定一个概念本质属性外延是由内

8、涵确定的全体个体的集合,如”手表”,其内涵是”戴在手腕上显示时间的东西”,外延则是各种款式的手表的全体,主要有机械表和电子表两类.分类由外延产生性质由内涵产生回主视图