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1、.1.1函数及其性质1.1.1函数函数是微积分学研究的对象．在中学里我们已经学习过函数的概念，在这里我们不是进行简单的重复，而是要从全新的视觉来对它进行描述并重新分类．1.函数的定义定义1设x和y是两个变量，D是一个给定的非空数集，如果对于每一个xD，变量y按照一定的法则f，总有唯一确定的值和它对应，则称y是x的函数，记作yf(x)，xD其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．函数定义中，对于确定的x0D，按照对应法则f，总有唯一确定的值y0与之对应，这个值y0称为函数yf(x)在x0处的函数值，记作f(x0)或yx=x0．函数值的全体所构成的
2、集合称为函数的值域，记作M．即Myyf(x),xD需要指出，按照上述定义，记号f和f(x)的含义是有区别的：前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值．表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可用其他的英文字母或希腊字母，如“g”、“F”、“”等，有时还可直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作yy(x)．但在同一问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们．2．函数的两个要素函数的对应法则f和定义域D称为函数的两要素，如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相
3、同的，否则就是不同的．函数的定义域通常按以下两种情形来确定：一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定；另一种是对抽象的算式表达的函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合．定义域一般用区间来表示．邻域是一个经常应用到的概念．以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域，记为N(x0)．设是任一正数，则开区间x,x就是点x0的一个邻域，这个邻域称为点x000..的邻域，记作N(x0,)，即N(x0,)＝xx0xx0．点x0称为这邻域的中心，称为该邻域的半径（如图11）．Ox0-x0x0+x图1-1有时用到的邻域需
4、要把邻域的中心去掉．点x0的邻域去掉中心x0后，称为点x0的去心邻域，记为N(x?0,)，即N(x?0,)＝x0xx0．例1设f(x)2x23x1是一个特定的函数，试写出其对应法则解f()=2()23()1例2设f(x1)x23x，求f(x)解令x1t，则，xt1，所以f(t)(t1)23(t1)t25t4，所以f(x)x25x4例3求下列函数的定义域（1）1(1)（）f(x)arcsin(2x1)yxx2x2解（1）这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函数的定义域，然后再求其公共部分即可．要使1有意义，必须满足x20，即x2，定义域为2,，x2
5、要使x(x1)有意义，必须满足x(x1)0，解得，x1或x0，即定义域为2,01,，于是，所求函数的定义域为2,01,...（2）要使arcsin(2x1)有意义，必须满足2x11，即12x11，解得0x1，所以函数的定义域为0,1.例4下列函数是否相同，为什么？（1）ylnx2与y2lnx；（2）yx与wv．解（1）ylnx2与y2lnx是不同的函数，因为定义域不同．（2）yx与wv是相同的函数，因为对应法则与定义域均相同．3．函数的表示法函数的主要表示方法通常有以下三种：（1）解析法（公式法）即自变量x与因变量y的函数关系由数学式子给出，它便于理
6、论研究，微积分中的绝大部分函数都是用这种方法表示的．（2）图像法把函数关系用平面上的点集x,yyf(x),xD反映出来．一般情况下，它是一条平面曲线．例如，气象站的温度记录器，记录了温度与时间的函数关系，它就是借助于仪器自动描绘在纸带上的一条曲线来表达的．再如，物理及化学试验中的实验曲线也是用图像表示函数的例子．用图象法表示函数关系非常直观，函数的性态表现得十分明显．（3）表格法变量间的函数关系，通过列表形式反映出来．例如，火车时刻表就是利用列表的方法，把火车的进（出）站的车次与时间的函数关系表示出来了．这种表示方法使得自变量与因变量的对应关系一目了
7、然．4．分段函数某市电话局规定市话的收费标准为：当月所打电话次数不超过次时30，只收月租费10元，超过30次时，每次加收0.20元．则电话费y和用户当月所打电话次数x的关系可用下面的形式给出：y10,x30,100.20(x30),x30.象这种在自变量的不同范围内，对应法则用不同的式子来表示的函数，通常称为分段函数．分段函数是微积分中常见的一种函数．例如，符号函数可以表示成（如图12）．1,x0ysgnx0,x0y11,x00x注意（1）分段函数是用几个不同解析式表示一个函数，-－1.图1—2.而不是表示几个函数．（2）分段函数的定义域是各段自变
8、量取值集合的并集．例5设函数sinx,4x1,f(x)1,1x3,5x1,x3.求f(),f(1),f(3.
