大连理工Chapter5(环与域)(2008-3-19)(3)

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1、离散数学（代数结构）DiscreteMathematics（AlgbraStructures）徐喜荣大连理工大学电信学院计算机系2021/9/171定义5.4.1设与是同类型的。称同态于或为的同态象，记为~，其定义如下：~：=(f)(f∈YX∧(x1)(x2)(x1,x2∈X→f(x1⊙x2)=f(x1)◎f(x2))同时，称f为从到的同态映射。可以看出，同态映射f不必是惟一的。5.4代数结构的同态与同构2021/9/1

2、72例5.4.1给定和，其中R是实数集合，+和×分别是加法和乘法运算，试证:~。5.4代数结构的同态与同构2021/9/173具有两个二元运算的两个同类型代数结构和的同态定义如下：~:=(f)(f∈YX∧(x1)(x2)(x1,x2∈X→(f(x1⊙x2)=f(x1)f(x2)∧f(x1◎x2)=f(x1)f(x2))f称为从到的同态映射。5.4代数结构的同态与同构2021/9/174例5.4.2给定

3、>，其中Z为整数集合，+和×是一般的加法和乘法运算。又有，这里Zm={[0],[1],[2],…,[m-1]}，+m和×m分别是模m加法和模m乘法,它们详细定义如下:[a]+m[b]=[(a+b)(modm)][a]×m[b]=[(a×b)(modm)]其中[a],[b]∈Zm现在定义函数f∈ZmZ:f(i)=[(i)(modm)]，其中i∈Z试证~。5.4代数结构的同态与同构2021/9/175定义5.4.2设~且f为其同态映射。(i)如果f为满射,则称f是从<

4、X,⊙>到的满同态映射。(ii)如果f为单射(或一对一映射),则称f为从到的单一同态映射。(iii)如果f为双射(或一一对应),则称f为从到的同构映射。显然,若f是从到的同构映射,则f为从到的满同态映射及单一同态映射，反之亦然。5.4代数结构的同态与同构2021/9/176例5.4.3设<Σ*，∥>与是同类型的，其中Σ*为有限字母表上的字母串集合，∥为并置运算，N为自然数集合,+为普通加法。若定义f:Σ*→N为f(x)=

5、x

6、其中x∈Σ*

7、这里

8、x

9、表示字母串的长度。因为对任意x，y∈Σ*，有f(x∥y)=

10、x∥y

11、=

12、x

13、+

14、y

15、=f(x)+f(y)，故<Σ*，∥>~。显然，f是满射，因此f为从<Σ*,∥>到的满同态映射。5.4代数结构的同态与同构2021/9/177例5.4.4给定，其中Z为整数集合，+为一般加法。作函数f∈ZZ:f(x)=kx其中x，k∈Z则当k≠0时，f为到的单一同态映射。当k=-1或k=1时,f为从到的同构映射。综上可以看出,同态映射具有一个特性,即“保持运算”。对于满同态映

16、射来说，它能够保持运算的更多性质。5.4代数结构的同态与同构2021/9/178定理5.4.1给定~且f为其满同态映射，则(a)如果⊙和◎满足结合律，则和也满足结合律。(b)如果⊙和◎满足交换律，则和也满足交换律。5.4代数结构的同态与同构2021/9/179(c)如果⊙对于◎或◎对于⊙满足分配律,则对于或对于也相应满足分配律。(d)如果⊙对于◎或◎对于⊙满足吸收律,则对于或对于也满足吸收律。5.4代数结构的同态与同构2021/9/1710(e)如果⊙和◎满足等幂律，则和也满足等幂律。(f

17、)如果e1和e2分别是关于⊙和◎的幺元,则f(e1)和f(e2)分别为关于和的幺元。5.4代数结构的同态与同构2021/9/1711(g)如果θ1和θ2分别是关于⊙和◎的零元，则f(θ1)和f(θ2)分别为关于和的零元。(h)如果对每个x∈X均存在关于⊙的逆元x-1，则对每个f(x)∈Y也均存在关于的逆元f(x-1)；如果对每个z∈X均存在关于◎的逆元z-1,则对每个f(z)∈Y也均存在关于的逆元f(z-1)。5.4代数结构的同态与同构2021/9/1712定义5.4.3设与是同类型的。称同构于

18、>,记为≌,其定义如下：≌:=(f)(f为从到的同构映射,或更详细地定义为：≌