数理方程课件2-2

《数理方程课件2-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2-2二维Laplace方程的定解问题不含时间的问题：稳定场，如静电场拉普拉斯方程——齐次泊松方程——非齐次特点：定解条件全是边界条件，没有初始条件本节讨论齐次方程：拉普拉斯方程边界条件不能都是齐次的要有足够的齐次边界条件，以便分离变量可以借助叠加原理，将边界条件化为所需要的形式求解矩形域的拉普拉斯方程使其满足边界条件解：令代入式(2.2.1)，得(2.2.1)(2.2.2)(2.2.3)(2.2.4)(2.2.5)令可得：由边界条件(2.2.3)得：(2.2.6)本征值问题：(2.2.5)(2.2.6)（1）

2、当时，式(2.2.5)的通解为：由式(2.2.6)有：由此得：即式(2.2.5)、(2.2.6)无非零解。所以(2.2.5)(2.2.6)（2）当时，式(2.2.5)的通解为：从而由可得：故得（常数）（3）当时，式(2.2.5)的通解为：从而由得：由得：故有即综合和两种情况，可知：本征值为：本征函数为：将的值代入式(2.2.4)：解得故问题的一般解为：由边界条件得：一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。因此：又由得：将展开成Fourier余弦级数，并比较系数有：由此得：解得：代入式(2.2.7)得问题的解为：注

3、意：采用分离变量法求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。求解圆形域的拉普拉斯方程例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度是铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）．解：导线建立如图所示坐标系，Z-轴沿导线。X轴平行由于导线无限长，可将电场看作沿z方向不变。只需要研究x-y平面的状态，

4、平面问题。真空静电势满足拉普拉斯方程：边界条件从云、地、导线三方面考虑。导线的表面是等势面，取其为电势零点a为导线半径云、地在无穷远处，静电场仍为，由有由于X轴平行，有所以根据导线边界条件，本题应取平面极坐标，，坐标原点在导线中心。定解问题：方程定解条件用分离变量法求解。令代入方程，得两边除以u，乘以得：令：得到：自然周期边界条件：得：本征值问题：微分方程的通解是:不具周期性，所以舍去。1）2）微分方程的通解是:B=0时具周期性。微分方程的通解是:3）以为周期，所以取本征函数为：本征值为：将这个结果代入到关于R的

5、方程：——Euler方程本征值问题：得：Euler方程的一般形式：变系数的线性微分方程，导数的阶数与系数的幂数相同。通解为：有：Euler方程可化为：变回原来的变量，可得：对Euler方程做变量变换：解法：通过变换化为常系数线性微分方程——二阶常系数线性齐次所以叠加得到一般解：由边界条件定常数。当时，有由此得：即：以及：即：代入一般解：得：令，略去和项后，得：再由边界条件比较等式两边的系数，有：于是得到导体周围的电势分布代入上式中间项为原来静电场的电势分布，前面的一项与导体原来的带电量有关，如果导体不带电，则，这

6、时圆柱周围的电势是最后一项当时可以忽略，它代表在导体附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。注：1.边界条件决定坐标系2.自然边界条件3.欧拉方程求解4.模型应用A、B两点场强：易击穿！场强大小与半径无关。y轴上场强：高压电容器极板必须刨得十分光滑！无初始条件的例子：长为l的理想传输线，一端接于电动势为的交流电源，另一端短路，求解线上的稳恒电振荡。解：经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已经消失，这时的电振荡完全是由交流电源引起的，因此是没有初始条件的问题：为了计算方便，将电动势写成

7、最后将得到的解取虚部。由于振荡完全由交流电源引起，可以认为振荡的周期与交流电源相同，即令：代入方程得：即：其通解为：因此，方程的一般解为：下面由边界条件定常数。由，得：再由，得：解出A和B，有：代入到解的表达式，得：取虚部，并以代入，得传输线内稳恒的电振荡：总结边界形状确定坐标系的选取矩形域：齐次边界条件+非齐次边界条件齐次边界条件用来解本征值，非齐次边界条件用来确定一般解的系数圆形域：采用极坐标系自然边界条件用来解本征值问题欧拉方程