北邮数理方程课件.ppt

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1、热传导和扩散方程热传导方程热传导：当物体内各处的温度分布不均匀时，就会有热量从温度高的地方流向温度低的地方，这就是热传导。热量的传递又会引起温度分布的变化。解决热传导的问题，归结为求温度的分布与变化。推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程采用微元法，在物体中任取一个闭曲面S,它所包围的区域记作V假设在时刻t区域V内点处的温度为,为曲面元素的法向（从V内指向V外）傅里叶（Fourier）定律：物体在无穷小时间段内，流过一个无穷小面积的热量与时间，曲面面积，以及物体温度沿曲面的法线方向的方向导数三者成正比，即其中k称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的

2、导热体时，k为常数。负号是由于热量的流向和温度梯度的正向方向相反而产生的。从时刻到,通过曲面S流入区域V的全部热量为流入的热量使V内温度发生了变化，在时间间隔内区域V内各点温度从变化到，则在内V内温度升高所需要的热量为其中，c为物体的比热，为物体的密度，对各向同性的物体来说，它们都是常数。由于热量守恒，流入的热量应等于物体温度升高所需吸收的热量，即此式左端的曲面积分中S是闭曲面，利用Gauss公式将它化为三重积分，即同时，右端的体积分可以写成因此有由于时间间隔及区域V都是任意取的，并且被积函数是连续的，所以上式左右恒等的条件是它们的被积函数恒等，即其中——三维热传导方程若物体

3、内有热源，其强度为,则相应的热传导方程为其中作为特例，如果所考虑的物体是一根细杆（或一块薄板），或者即使不是细杆（或薄板），而其中的温度只与x，t（或x，y，t）有关，则三维热传导方程就变成一维热传导方程和二维热传导方程扩散方程扩散：描写扩散现象的特征物理量应选物质的浓度u(x,y,z,t)。浓度的不均匀可用浓度梯度表征。扩散现象的强弱用扩散流强度q（单位时间、穿过单位截面的物质流量）来描述。扩散定律：浓度的不均匀程度和引起的扩散现象的强弱之间的关系满足扩散定律其中，k称为扩散系数。物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处的运动，称为扩散。负号表示扩散转移的方向（浓度减少的

4、方向）与浓度梯度（浓度增大的方向）相反。在空间任取一个微小六面体，如图所示。这个平行六面体内浓度的变化取决于穿过它的表面的流量。x方向：设从左面流入，从右面流出，因此单位时间通过左右两面流入的净流量是：将代入，得：如果六面体中没有源和汇，则浓度对时间的变化率为：如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：——一维扩散方程令，则方程写为：如考虑x，y，z三个方向，则方程为：如扩散系数在空间是均匀的，则方程可化为：类似的，若物体内存在生成该物质的源，其强度（单位时间、单位体积产生之质量）为f(x,y,z,t），则得非齐次的扩散方程泊松方程和拉普拉斯方程静电场的电势静电场中，电荷分布与

5、电场强度满足方程因为静电场是保守场，存在势函数，设电势为u，则代入方程式（*）中，即得静电势满足的方程它称为泊松方程，是非齐次的。对于不存在电荷的区域，，静电势满足方程此方程称为拉普拉斯方程。是齐次的。（*）由和可得：稳定温度场在热传导问题中，如果物体内不存在热源，物体周围的环境温度不随时间变化，则经过相当长的时间后，物体各处的温度将不再随时间而改变，趋向于稳定状态。这时，，齐次的热传导方程便化为稳定温度场的拉普拉斯方程。热传导方程：变为：亥姆霍兹方程方程形式为：在讨论用分离变量法求解波动方程、热传导方程时会用到这个方程。薛定谔方程：其中，是粒子势能，是描述微观粒子运动状态的

6、波函数。用来代替，方程可化为：当，亥姆霍兹方程就退化为拉普拉斯方程。总结波动方程热传导方程拉普拉斯方程齐次、非齐次（右端+自由项f(M,t)）一维、二维、三维§1-2定解条件作为完整的定解问题，除了给出相应问题的泛定方程外，还应给出定解条件。定解条件说明系统的初始状态——初始条件说明边界上的物理情况——边界条件初始条件对于随着时间变化的问题，必须考虑研究对象初始时刻的状态，即“初始条件”。1.热传导方程对热传导问题，初始状态指的是物理量u的初始分布，即初始温度的分布。因此初始条件为：其中，是一个已知的函数。2.波动方程波动问题既要给出初始位移分布，还要给出初始时刻的速率分布。

7、从数学角度看，热传导方程中只出现时间t的一阶导数，因此只需要一个初始条件，而波动方程中出现时间t的二阶导数，因此需要两个初始条件。3.稳定分布问题对于稳定分布的问题，例如稳定温度场，静电场等，不随时间而变化，因此不需要给出初始条件。如静电场方程4.有源问题在周期性外源引起的传导和周期性外力作用下的振动问题中，经过很多周期后，初始条件引起的自由传导或自由振动可以认为已经消失。这时的传导或振动可以认为完全是由周期性外源或外力引起的。处理这类问题时，完全可以忽略初始条件的影响，将其当作无初始条件问题。边界条件