北邮数理方程课件第三章分离变量法

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1、word资料下载可编辑第三章分离变量法3。2基础训练3.2.1例题分析例1解下列定解问题:(1)解:分离变量,即令(2)代入方程((1)中第一式),得(3)(4)其中为分离常数。(2)式代入边界条件((1)中第二式),得(5)相应的本证值问题为求(6)的非零解.下面针对的取值情况进行讨论:(1)当时,(6)式中方程的通解是(7)其中A,B为积分常数,(7)代入(6)中边界条件,得(8)由(8)得A=B=0,得X(x)=0,为平凡解,故不可能有。(2)当时,(6)式中方程的通解是由边界条件得A=B=0,得

2、X(x)=0,为平凡解,故也不可能有。(3)当时,上述固有值问题有非零解.此时式(6)的通解为专业技术资料word资料下载可编辑代入条件(6)中边界条件,得由于,故,即从而得到一系列固有值与固有函数与这些固有值相对应的方程(3)的通解为于是,所求定解问题的解可表示为利用初始条件确定其中的任意常数,得故所求的解为例2演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离,然后放手任其自由振动。设弦长为,被拨开的点在弦长的(为正整数)处,拨开距离为,试求解弦的振动,即求解定解问题专业技术资料word资料下载可编辑解:将

3、代入原方程及边界条件得(1)(2)解(2)第一式可得由(2)的第二式得,将代入(1)并解得由初始条件得所以专业技术资料word资料下载可编辑从而例3求解细杆的导热问题,杆长,两端保持零度,初始温度分布.解:该问题的定解问题为(1)令,代入(1)第一式可得,(2)(3)由(2)得(4)由(1)第三式可得,由得,由,得,于是有,,因此,专业技术资料word资料下载可编辑将作Fourier展开得其中于是因此例4在矩形域内求Laplace方程(1)的解,使其满足边界条件解:令,代入式(1),有(4)(5)又由边

4、界条件(3)得(6)当时,式(5)的通解为专业技术资料word资料下载可编辑由式(6)有由此得,即式(5)、(6)无非零解.当时,式(5)的通解为由,得.当时,式(5)的通解为由得,由得,得,即.由此可见,本征值为本征函数为将的值代入式(4),解得故问题的一般解为(7)由边界条件得到专业技术资料word资料下载可编辑一个无穷级数等于零,说明各项系数均为零,故(8)又由得将Ay展开成Fourier余弦级数,并比较系数有故(9)从式(8)和(9)中解得代入式(7)并整理得(10)例5带电云与大地之间的静电场

5、近似匀强静电场,其电场强度是垂直的.水平架设的输电线处在这个静电场中.输电线是导体圆柱.柱面由于静电感应出现感应电荷,圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了.不过,离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强,现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场(即讨论导线附近的电场分布).解:化成定解问题,取柱轴为z轴,设导线“无限长”,那么场强和电势都与z无关,只需在x,y平面上讨论.如图3-2所示,圆柱在x,y平面的截面是圆周作为静电场的边界,所以我们采用极坐标.柱外空间无电荷,电势满足二维Laplace方程,化成极坐标为(1

6、)边界条件:导体中的电荷不再移动,说明导体中电势相同,又因为电势具有相对意义,可以把导体的电势当作零,故(2)专业技术资料word资料下载可编辑“无穷远”处也为一个边界(圆内则考虑圆心点),“无穷远”处静电场仍为匀强静电场,由于选取了x轴平行,故有即因此有(3)图3-2输电线对带电云和大地之间电场的影响分离变量,令代入方程(1),得(4)(5)因为极角具有周期性,应表示一个点,同一处的u应该相同,故有即所以有(6)方程(6)称为自然周期条件.方程(4),(6)构成本征值问题,解之即方程(5)可以写成(7

7、)专业技术资料word资料下载可编辑为欧拉方程.作变换化成常系数线性微分方程,其通解为于是得到极坐标系中Laplace方程的本征解一般解应叠加(8)由边界条件(2),有一个Fourier级数为零,各系数为零,即由此于是将解化简为(9)再由边界条件(3),对于略去及项,即比较系数代入方程(9),导体周围的电势分布(10)专业技术资料word资料下载可编辑例6长为l的理想传输线,一端接于电动势为的交流电源,另一端开路,求解线上的稳恒电振荡.解:经历交流电的许多周期后,初始条件所引起的自由振荡衰减到可以认为已

8、经消失,这时的电振荡完全是由交流电源引起的,所以叫稳恒振荡.因此是没有初始条件的问题:为了计算方便,将电动势写成,最后将得到的解取虚部.由于振荡完全由交流电源引起,当然可以认为振荡的周期与交流电源相同,即令代入方程得即其通解为故有由得(1)及得(2)从式(1),(2)中解出专业技术资料word资料下载可编辑带入解的表达式,得取虚部,并以代入,得传输线内稳恒的电振荡例7试解出具有放射衰变的热传导方程已知边界条件为初始条件为解令,定解问题可以化

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