数理方程课件5-1

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1、第五章Legendre多项式李莉lili66@bupt.edu.cn§5.1Legendre方程与Legendre多项式的引出例：在本来匀强的静电场中，放置一个导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强电磁场。解：这个问题是三维静电场问题，球外电势满足Laplace方程，在距球无穷远处，电场保持为原来的。以球心为原点取球坐标系，则定解问题是：在球坐标系中，Laplace方程的表达式是：用分离变量法求解，设：代入到方程中，得：(5.1.4)将关于的变量和关于的变量分离：用遍乘上式，并适当移项，可得：由此可得

2、两个微分方程：（5.1.5）和（5.1.5）对上面第二个方程，再将变量分离开来：由此再得两个常微分方程：(5.1.6a)即(5.1.6b)以及(5.1.7a)(5.1.7a)对方程（5.1.7a）作变换可得：代入5.1.7a，得：即：(5.1.7b)即(5.1.7c)至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程：（5.1.5）(5.1.6b)(5.1.7c)（5.1.5）(5.1.6b)(5.1.7c)方程(5.1.5)加上周期性条件(5.1.8)构成本征值问题，解之得到：方程（5.1.

3、6）是Euler方程，令，解之得：（5.1.10）（5.1.9）方程（5.1.7）叫做关联Legendre方程。在m=0时，退化为Legendre方程：（5.1.11）m=0物理含义：轴对称问题，即场量u与角度无关，只是和的函数。重新考虑定解问题非齐次边界条件（5.1.2）是引起场量u发生变化的唯一根源，这个非齐次函数不是角变量的函数，所以问题具有轴对称性。（5.1.11）在第三章中，我们已经求出了Legendre方程(5.1.11)的通解，并且指出，Legendre方程(5.1.11)加上自然条件（5.1.1

4、2）构成本征值问题，其本征值和本征函数依次是：综上，定解问题(5.1.1)----(5.1.3)在具有轴对称性质的假设下，具有本征解：（5.1.14）将这些解叠加起来，得到级数解为：（5.1.15）下一步：利用Legendre多项式的性质，确定未知常数。当时，方程为关联Legendre方程：(5.1.7c)令(5.1.16)则函数Y满足：(5.1.17)另一方面，利用微商的莱布尼兹法则：将勒让德方程对x求m次微商，可得：其中（II）即：满足自然条件（5.1.12）的Legendre方程的解是legendre多项

5、式，满足同样边界条件的关联Legendre方程的本征函数称为关联Legendre多项式，记作所以一般解：本征解：比较（5.1.17）和（5.1.17’），可知：（5.1.17）（5.1.17‘）代回可得：§5.2Legendre多项式的性质Legendre多项式的微分表示Legendre多项式：l为偶数l为奇数现在我们来证明，Legendre多项式还可表示成如下的微分形式：（5.2.1）证明：将式（5.2.1）中的按二项式定理展开，可得：Rodrigues公式由此得证。（5.2.1）将其中的l次微商实施。凡是x

6、的幂次2l-2k低于l的项在微商过程中都成为零，留下的项必满足：，即故利用Rodrigues公式，可方便地给出低阶的几个Legendre多项式的显式：（5.2.2）的奇偶性由l的奇偶性来决定。（5.2.3）由图可见，Legendre多项式的积分表示1）.施列夫利（Schlufli）积分根据复变函数的Cauchy积分公式的微分表示又可变为积分表示：其中C是在z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。2）.Laplace积分将积分回路C选成：以z=x为圆心，以为半径的圆周（5.2.5）在积分回路上：将以上各式代入式经过整

7、理简化，可得：（5.2.6）按，从x变回，可得：（5.2.7）——Legendre多项式的Laplace积分利用该式，可得Legendre多项式的一些特殊值。比如：Legendre多项式的母函数如果一个函数按其某个自变量的幂级数展开时，其系数是Legendre多项式，则称该函数为Legendre多项式的母函数，或称生成函数。即如果有则称为Legendre多项式的母函数。例：考察电量为，位于半径为1的单位球北极N处的点电荷在球内一点处所产生的电势是其中（5.2.8）另一方面，球内电势满足：在球坐标系中，由于电荷放

8、在极轴上，它所产生的静电场是轴对称的，与变量无关。一般解为：（5.2.9）比较（5.2.8）和（5.2.9），有：（5.2.8）（5.2.10）因为所以：（5.2.10）为确定系数，取特殊位置并利用，式（5.2.10）化为：因为，上式左端可展成Talor级数，即比较两边的系数，可知：式（5.2.10）化为：（5.2.11）或（5.2.12）由此可见，Legendre多项式是函数在的邻域