成才之路数学选修2-1之1-1-1(57)

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1、理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，会用向量方法求两条直线所成的角、线面角和二面角．重点：异面直线所成的角、线面角、二面角与向量夹角的关系．难点：如何用直线的方向向量和平面的法向量来表达线面角和二面角．1．求异面直线所成的角设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，则〈a，b〉与θ相等或互补，※注：由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的

2、正负来判断，故这是求二面角的难点．这里给出一种简明的判断方法，供参考．定义　设平面α的法向量n在平面α的一侧，若向量n的终点到平面α的距离小于向量n的起点到平面α的距离，则称法向量n指向平面α(如图(1))；若向量n的终点到平面α的距离大于向量n的起点到平面α的距离，则称平面α的法向量背离平面α(如图(2))．如图，设两个平面的法向量n1，n2在二面角α－l－β内，〈n1，n2〉＝θ，若平面α的法向量n1指向(背离)平面α，同时平面β的法向量n2指向(背离)平面β，则二面角α－l－β的大小为π－θ(如图(3))；若平面α的法向量n1指向

3、(背离)平面α，同时平面β的法向量n2背离(指向)平面β，则二面角α－l－β的大小为θ(如图(4))*3.空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等．这些角都是通过两条射线所成的角来定义的，因而这些角的计算方法，都是转化为平面内线与线所成的角来计算的．确切地说，是“化归”到一个三角形中，通过解三角形求其大小．平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的所有直线所成角中最小的．(3)二面角的平面角：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条

4、射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据定义，以棱上任一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的两条射线，则形成二面角的平面角．②三垂线法：从二面角一个面内某个特殊点P作另一个面的垂线，过垂足A作二面角棱的垂线，垂足为B，连结PB，由三垂线定理得PB与棱垂直，于是∠PBA是二面角的平面角(或其补角)．③垂面法：过二面角的棱上一点作平面与棱垂直，分别交两个面的交线，构成二面角的平面角．1．直线与平面的夹角定义：平面外一条直线与它在该平面内的的，特别当直线与平

5、面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为.2.用向量方法求空间中的角投影夹角[例1]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[答案]D[点评]求异面直线所成的角的常用方法是：(1)作图——证明——计算；(2)把角的求解转化为向量运算．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，则异面直线AE与CF所成的角为_____

6、___．[解析]不妨设正方体棱长为2，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(1,1,2)．[解析](1)作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD.因为SA＝SB，所以AO＝BO.又∠ABC＝45°，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB.如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O－xyz，[点评]可以用向量法求之，也可以用纯几何法证明，也可以两者结合．下面给出纯几何法供参考．(1)作SO

7、⊥BC，垂足为O，∵侧面SBC⊥底面ABCD，∴SO⊥底面ABCD.∵SA＝SB，∴AO＝BO.又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理得，SA⊥BC.如图，已知点P在正方体ABCD－A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°，则(1)DP与CC′所成角的大小为________；(2)DP与平面AA′D′D所成角的大小为________．[答案](1)45°(2)30°[解析]如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系D－xyz.[例3]如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC

8、＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.(1)PA与BD是否垂直？证明你的结论．(2)求二面角P－BD－C的大小．(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.∴DM⊥PA，DM