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《成才之路数学选修2-1之1-1-1(49)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1．掌握空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示．2．掌握空间向量平行、垂直条件的坐标表示，能够应用坐标运算证明空间两个向量的平行和垂直．3．掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直、夹角、长度的坐标计算公式．难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹角、向量长度的坐标计算公式．1．设{i，j，k}为单位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，
2、根据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，
3、a
4、及cos〈a，b〉的坐标表示．将i，j，k的起点移到同一点O，以i，j，k的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则对空间任一点P，相对于原点确定了一个向量，设2．空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具．3．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示
5、则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算最后转化为相应几何结论．1．空间向量的加减和数乘的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝；(4)a∥b(b≠0)⇔(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a
6、2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝.a1b1＋a2b2＋a3b33．空间向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则[例1]已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，求p，q，p·q.[解析]p＝a－b＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)；q＝a＋2b－c＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1
7、)＝(0,3,1)；p·q＝(1,0，－1)·(0,3,1)＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,0,2)，则：(1)a·(b＋c)＝________；(2)(a＋2b)·(a－2b)＝________.[答案]9－38[解析](1)b＋c＝(2,0,5)，a·(b＋c)＝(2，－3,1)·(2,0,5)＝9.＝
8、a
9、2－4
10、b
11、2＝－38.[例2]已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，求单位向量n，使n⊥a，且n⊥b.[解析]设n＝(x，y，z)，则n·a＝－2x＋2y＝0(1
12、)n·b＝－2x＋2z＝0(2)设向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，计算2a＋3b,3a－2b，a·b，并确定λ，μ的关系，使a＋μb与z轴垂直．[分析]前三者只需按向量坐标运算公式计算即可，而确定λ，μ的关系，使λa＋μb与z轴垂直，只要将(λa＋μb)·(0,0,1)＝0转化为λ，μ的关系即可．[解析]2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(12,13,16)．3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(5,13，－28)．a·b＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝－21.由(λa＋μb)·(0,0,1)＝(3λ＋2
13、μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0知λ＝2μ，只要λ，μ满足λ＝2μ即可使λa＋μb与z轴垂直．[点评]由本例的求解可知，要使一向量a＝(x1，x2，x3)与z轴垂直，只要x3＝0即可，事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为零即可，且反之亦真．[例3]设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，求k.[分析]由向量线性运算的坐标表示可求出ka＋b，a－3b，再由向量共线的坐标表示可求出k.若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，－
14、5)，则顶点D的坐标为()B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)[答案]
