工程力学(下册)06动量定理

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1、第6章动量定理●6.1动量定理与动量守恒定律●6.1.1动量与冲量●6.1.2质点的动量定理●6.1.3质点系的动量定理与动量守恒定律●6.2动量定理与动量守恒定律的应用●本章习题●6.1动量定理与动量守恒定律●6.1.1动量与冲量冲量是指力F在时间t上的累计，即F·t，用字母I表示。由于冲量为矢量F乘上一个标量t，因此冲量仍是矢量，并且具有力F的矢量特征，当然由于时间t的加入，使得冲量为一过程量。即，力F在物体上作用t时间的冲量I为(6-1)动量是表征物体机械运动状态的力学量，是指物体质量m与其速度v的乘积mv，用字母P表示。由于动量为速度矢量v乘上一个标量m，因此动量仍是矢量，并

2、且具有速度v的矢量特征，即动量P也为一个瞬时量。质量为m、速度为v的质点的动量P为(6-2)●6.1.2质点的动量定理由牛顿第二定律可知又所以即(6-3)将式(6-3)写成积分形式(6-4)将式(6-4)两边积分得(6-5)即质点的动量在任一时间内的增量，等于作用于该质点上的力在同一时间内对质点的冲量。此即为质点的动量定理。式(6-3)、式(6-4)、式(6-5)分别为动量定理的微分式、积分式和普通式，可以根据问题的不同选择不同的形式。●6.1.3质点系的动量定理与动量守恒定律现取n个质点，第i个质点的质量为、速度为，则该质点的动量为，假定作用于该质点上的合力为Fi，则由质点的动量定

3、理的微分式得(6-6)将方程(6-6)求和得即(6-7)式中，；为作用在质点系上外力的合力；为质点系内力的合力根据作用与反作用定律，内力是成对出现的，则.则式(6-7)可写为(6-8)即质点系的动量在任一时间内的增量，等于作用于该质点系上的外力在同一时间内对质点系的冲量。此即为质点系的动量定理。和质点的动量定理一样，质点系的动量定理同样具有微分式、积分式和普通式，只需将式(6-8)处理一下即可。由式(6-8)可知，若作用在质点上的外力，则有，也就是说此时质点系的动量为一常量P=常量(6-9)即质点系在运动过程中，如果作用于质点系上的外力矢量和始终为零，则质点系的动量恒定不变。此即为质

4、点系的动量守恒定律。由于式(6-1)～式(6-9)均为矢量式，可以将它们向任一坐标轴投影得到投影式。也就是说：(1)如果作用在质点(系)的外力在某一轴上的投影的代数和为零，则质点(系)的动量在该轴上的投影保持为常量。(2)质点(系)的动量在任一时间内在某一坐标轴上的增量，等于作用于该质点(系)上的外力在该坐标轴上的投影在同一时间内对质点(系)的冲量。投影式的应用，使得动量定理和动量守恒定律的应用更加灵活，这一点会在后面的学习中体会到。【例6.1】如图6.1所示，锻锤A的质量m=3000kg，从高度h=1.45m处自由下落到锻件B上。假设锻锤由接触锻件到最大变形所用时间t=0.01s，

5、求锻锤作用在锻件上的平均碰撞力。解：取锻锤作为研究对象。从高度h自由下落到锻件产生最大变形的过程，可分成两个阶段。(1)碰撞前的自由下落阶段。如图6.1(a)所示，锻锤只受重力作用，由机械能量守恒定律得从而求得碰撞前锻锤速度的大小(2)锻锤由开始接触锻件到最大变形阶段。如图6.1(b)所示，该阶段锻锤受重力mg和锻件对锻锤的碰撞力(设其平均值为FB)的作用，写出冲量定理在铅直轴y上的投影式，并注意锻件变形最大时锻锤速度为零。有从而求得代入数据，即得●6.2动量定理与动量守恒定律的应用质心运动定理：现取n个质点，第i个质点的质量为，n个质点的总质量m为，由牛顿第二定律可得式中，为作用在

6、质点系上外力的合力；为质点系质心的加速度。(6-10)将式(6-8)和代入式(6-10)，整理得(6-11)若，则有即质点系在运动过程中，如果作用于质点系上的外力矢量和为零，则质点系质心的速度为一常量；如果开始时质点系质心速度为零，则无论质点系各质点如何运动，质点系的质心位置保持不变。这就是质心运动守恒定律。将式(6-11)向坐标轴投影可得到质心运动守恒定律投影式，这也是质心运动定理应用最为广泛之处。【例6.2】如图6.2所示，物块A可沿光滑水平面自由滑动，其质量为mA，小球B的质量为mB，用细杆与物块铰接，如图所示。设杆长为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角；释放后，细杆近

7、似以规律摆动(k为已知常数)，求物块A的最大速度。解：取物块和小球为研究对象，其上的重力以及水平面的约束力均为铅垂方向。此系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒。细杆角速度为，当时，其绝对值最大，此时应有，即。由此，当细杆铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为，当速度向左时，物块应有向右的绝对速度，设为v，而小球向左的绝对速度值为　　　　。根据动量守恒定律，有解出物块的速度为当　　　　　时，也有　　。此时小球相对于物块有向右的最大速度　　，可