工程力学(下册)08动量定理

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1、第8章动能定理●8.1力的功●8.1.1力的功的概念●8.1.2常见力的功●8.2质点和质点系动能●8.2.1质点系的动能●8.2.2平动刚体的动能●8.2.3定轴转动刚体的动能●8.2.4平面运动刚体的动能●8.3动能定理●8.3.1质点动能定理●8.3.2质点系动能定理●8.3.3理想约束及内力做功●8.4功率、功率方程和机械效率●8.4.1功率●8.4.2功率方程●8.4.3机械效率●8.5普遍定理的综合应用●本章习题●8.1力的功●8.1.1力的功的概念1.常力的功设质点M在大小和方向都不变的力F的作用下，沿直线走过一段路程s，力F在这段路程内所积累的效应用力的功来量

2、度，以W记之，并定义为式中，为力F与直线位移方向之间的夹角。功是代数量，其量纲为功在国际单位制中的单位为焦(J)，1J等于1N的力在同方向1m的路程上做的功。2.变力的功如图8.1所示，质点M在任意变力F作用下沿曲线运动，力在无限小位移dr中可视为常力，小弧段ds可视为直线，dr可视为沿M点的切线。在一无限小位移中力所做的功称为元功，以表示。所以力的元功为(8-1)或写成直角坐标形式(8-2)在一般情况下，上式右边不表示某个坐标函数的全微分，所以元功用符号而不用dW。力在有限路程上的功：力在有限路程M1M2上的功为力在此路程上元功的定积分，即(8-3)(8-4)或由式(8-3

3、)和式(8-4)可知，当力始终与质点位移垂直时，该力不做功。●8.1.2常见力的功1.重力的功如图8.2所示，质点沿轨迹由M1运动到M2，其重力在直角坐标轴上的投影为X=0，Y=0，Z=-mg所以重力的功为(8-5)由此可见，重力的功仅与质点运动开始和终了位置有关，而与运动轨迹无关。对于质点系，所有质点重力做功之和为由质心坐标公式，有由此可得(8-6)式中，m为质点系的质量；为质点系运动始末位置质心的高度差。所以质点系重力的功也与质心运动轨迹的形状无关。2.弹性力的功设质点受指向固定中心O点的弹性力作用，当质点的矢径表示为r =rer时，在弹性限度内弹性力可表示为F=-k(r

4、-l0)er式中，k为弹簧的刚度系数；l0为弹簧的原长；er为沿质点矢径方向的单位矢量。弹性力在如图8.3所示有限路程M1M2上的功为因为于是或(8-7)式中，、分别为质点在起点及终点处弹簧的变形量。由式(8-7)可知，弹性力在有限路程上的功只决定于弹簧在开始及终了位置的变形量，而与质点的运动路径无关。3.定轴转动刚体上作用力的功如图8.4所示，作用于定轴转动刚体上的力F的元功为于是力F在有限转动中的功为(8-8)4.平面运动刚体上力系的功如图8.5所示，刚体上任意一点的无限小位移可写为式中，drC为质心的无限小位移；driC为点Mi绕质心C的无限小转动位移。作用于点Mi上的

5、力的元功为而作用于刚体上的全部力的元功为(8-9)式中，FR为力系的主矢量；MC为力系对质心的主矩。在有限路程上的功为(8-10)可见，平面运动刚体上力系的功就等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。这个结论也适用于做一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任意一点。●8.2质点和质点系动能●8.2.1质点系的动能设质点系由n个质点组成，任一质点Mi在某时刻的动能表示为，质点系内所有质点在某时刻动能的算术和称为该时刻质点系的动能，以T表示，即(8-11)动能是描述机械运动强度的一个物理量，是一个标量，恒取正值。动能的单位与功的单位相同。刚体是由无数质点组成的质点系。刚体做不同的运

6、动时，各质点的速度分布不同，刚体的动能应按照刚体的运动形式来计算。●8.2.2平动刚体的动能当刚体平动时，各点的速度都相同，可以质心速度vC为代表，于是平动刚体的动能为(8-12)如果设想质心是一个质点，它的质量等于刚体的质量，则平动刚体的动能等于此质点的动能。●8.2.3定轴转动刚体的动能当刚体绕固定轴z转动时，如图8.6所示，其上任一点mi的速度为式中，是刚体的角速度；ri是质点mi到转轴的垂直距离。于是，绕定轴转动刚体的动能为式中，为刚体对z轴的转动惯量，所以有(8-13)即绕定轴转动的刚体的动能，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度平方的乘积的1/2。如图8.7所示，质

7、心为C的刚体做平面运动时，可视为绕通过速度瞬心P并与运动平面垂直的轴的转动，动能可写为●8.2.4平面运动刚体的动能根据转动惯量的平行轴定理有代入上式得而是质心的速度的大小，因此(8-14)即平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕通过质心的转轴转动的动能之和。●8.3动能定理●8.3.1质点动能定理质点的动能定理建立了质点的动能与作用力的功之间的关系。牛顿第二定律给出，上式两边点乘dr得因于是上式可写为或(8-15)式中，为质点的动能；为力的元功。式(8-15)称为质点动能定理的微分形式，即作用于质