完全信息静态博弈

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1、第2章完全信息静态博弈电影《美丽心灵》中，有人向纳什提出了这样一个问题，问题的背景如下：在一个舞会上，有两个以上的男士，有比男士更多的魅力十足的女士，但只有一个金发女郎，男人开始邀请舞伴，但只能邀请一次请一个女郎作为舞伴，所有男士更喜欢金发女郎，但有女伴比无女伴要好，如果两个男士同时邀请一个女士，两人都会被拒绝。假设你作为一个男士，你会如何邀请舞伴？2.1纳什均衡的定义纳什均衡是博弈论中最重要的概念，各种非合作博弈模型的均衡概念都是建立在纳什均衡基础之上的。纳什均衡是个策略组合，它满足两个要求。1.对每个局中人，能够预期到对手采用策略

2、组合。2.对每个局中人，是他应对的最好的策略。纳什均衡的定义定义2.1设为一具有完全信息的策略型博弈模型，称策略组合为G的一个纳什均衡。如果对是在i的对手策略组合为条件下局中人i的最优反应策略，即或对。如果以上不等式对严格成立，称为G的严格纳什均衡。在完全信息静态博弈中可用纳什均衡预测每个参与人的策略，进而预测我们所关心的各种博弈结果。扩展型博弈模型的纳什均衡定义为它所对应的策略型博弈的纳什均衡。例2.1囚徒困境问题在例1.6给出的囚徒困境问题中，是惟一的严格纳什均衡。（对斯密“看不见的手”的质疑）策略组合都不是纳什均衡。这个模型中，

3、基于自利理性的假设，局中人为了各自利益选择坦白的策略，其结果是双方各获得-5的支付。显然双方可以得到更好的结局，即双方都采取抵赖策略各得-1的支付（帕累托最优），自利理性选择的结果并非帕累托最优，从个体利益出发的行为往往不能实现社会的最大利益；不止如此，自利理性本身存在内在矛盾——从个体利益出发的行为最终也不一定能真正实现个体的最大利益，甚至会得到相当差的结果。例2.2伯川德（Berchand）均衡设有生产同质产品的两个企业，同时独立地确定产品的价格。已知该产品市场需求函数为，满足。这里q代表产量，p代表价格。两个企业具有相同的单位成

4、本.企业的利润函数如下：这里表示两个企业的价格分别为时，市场对于企业的产品的需求量。上述企业价格竞争问题可以归结为完全信息静态博弈模型其中:局中人集合。策略集合表示企业所有可行价格构成的集合。支付函数。为求该模型的纳什均衡，可先将策略组合集合中的点分为4类，分别讨论它们是否能构成纳什均衡。第1类，第2类，第3类，第4类,（1）当，不是纳什均衡。（2）当，不是纳什均衡。（3）当，不是纳什均衡。（4）当，是纳什均衡。称其为伯川德均衡。2.2求纳什均衡的划线法划线法对于二人有限博弈，，G可由支付矩阵给出。设为G的纳什均衡。即是局中人2对于的

5、最优反应，是局中人1对于的最优反应。G的纳什均衡可由以下划线法求得。例2.4在囚徒困境问题中，其支付矩阵为应用划线法，支付矩阵中的元素（-5，-5）下都划上了短线，其所对应的策略组合为纳什均衡，且是严格的纳什均衡，例2.5斗鸡博弈两个人举着火棍从独木桥的两端走向中央进行火拼，每个人都有两种战略：继续前进，或退下阵来。若两个人都继续前进，则两败具伤；若一方前进，另一方退下来，前进者胜利，退下来的丢了面子；若两人都退下来，两人都丢面子，支付矩阵如下：用划线法可得严格纳什均衡（退，进），（进，退）。（试写出金发女郎博弈的矩阵，并求出NE）例

6、2.6智猪博弈猪圈里圈着两头猪，一头大猪，一头小猪。猪圈的一边有一个猪食槽，另一边安装一个按钮，按一下按钮会有10个单位的猪食进槽。但谁按按钮就需要付2个单位的成本。若大猪先到，大猪吃到9个单位，小猪吃到1个单位；若同时到，大猪吃7个单位，小猪吃3个单位；若小猪先到，大猪吃6个单位，小猪吃4个单位，支付矩阵如下。严格纳什均衡为大猪“按”，小猪“等待”。例2.7在例1.8中的大堤维护博弈中，支付矩阵为利用划线法可得纳什均衡（维护，维护），（不维护，不维护）。为了保护生命财产的安全，政府可以立法，如果参与人不维护大堤，需付罚款5，则有支付

7、矩阵这时该博弈有惟一的纳什均衡（维护，维护）。2.3最优反应映射与纳什均衡定义2.2局中人的最优反应映射局中人i的最优反应映射是一个定义于策略组合集合S,取值于策略集的子集的集值映射（映射值为集合的映射称为集值映射），，满足定义2.2表明，局中人i的最优化反应映射仅与有关。反应函数当为单点集时，称为局中人i的最优反应函数，简称反应函数。这时将记为。定义2.3最优反应映射n个参与人的最优反应映射的乘积称为博弈G的最优反应映射。博弈的最优反应映射与纳什均衡之间的关系定理2.1为策略型博弈的纳什均衡的充要条件是。设为一集值映射。若，称x为的

8、不动点。利用不动点概念，定理2.1可以如下叙述。命题2.4s﹡是策略型博弈G的纳什均衡的充要条件是s﹡是最优反应映射r(s)的不动点，即s﹡∈r(s﹡)。例2.8在囚徒困境问题中，是囚徒困境博弈的惟一纳什均衡。例2.9多