含绝对值地导数题

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1、实用文档1.已知函数.(1)求函数的极值;(2)求函数的单调区间;解:(1)g(x)=lnx-x+1,g′(x)=-1=,当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,可得g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)有极大值为g(1)=0,无极小值.(2)h(x)=lnx+

2、x-a

3、.当a≤0时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+>0恒成立,此时h(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,h(x)=①当x≥a时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+>0恒成立,

4、此时h(x)在(a,+∞)上单调递增;②当0<x<a时,h(x)=lnx-x+a,h′(x)=-1=.当0<a≤1时,h′(x)>0恒成立,此时h(x)在(0,a)上单调递增;当a>1时,当0<x<1时h′(x)>0,当1≤x<a时h′(x)≤0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减.综上,当a≤1时,h(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;当a>1时,h(x)增区间为(0,1),(a,+∞);减区间为(1,a).设,函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的最小值.解(

5、1)当时,令得所以切点为(1,2),切线的斜率为1,所以曲线在处的切线方程为:。标准文案实用文档(2)①当时,,,恒成立。在上增函数。故当时,②当时,,()(i)当即时,在时为正数,所以在区间上为增函数。故当时,,且此时(ii)当,即时,在时为负数,在间时为正数。所以在区间上为减函数,在上为增函数故当时,,且此时(iii)当;即时,在时为负数,所以在区间[1,e]上为减函数,故当时,。综上所述,当时,在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为;当时,在时的最小值为,而,所以此时的最小值为。当时,在时最小值为,在时的

6、最小值为,标准文案实用文档而,所以此时的最小值为所以函数的最小值为已知函数.(I)若,求+在[2,3]上的最小值;(II)若时,,求的取值范围;(III)求函数在[1,6]上的最小值.解:(1)因为,且[2,3],所以,当且仅当x=2时取等号,所以在[2,3]上的最小值为(2)由题意知,当时,,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是(3)记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.①当,即时,易知在[1,6]上的最小值为②当a<1时,可知2a-1

7、以(ⅰ)当,得,即时,在[1,6]上的最小值为(ⅱ)当,得,即时,在[1,6]上的最小值为③当时,因为2a-1>a,可知,(ⅰ)当,得,即时,在[1,6]上的最小值为标准文案实用文档(ⅱ)当且时,即,在[1,6]上的最小值为(ⅲ)当时,因为,所以在[1,6]上的最小值为综上所述,函数在[1,6]上的最小值为南京三模)14.若不等式

8、

9、≥1对任意都成立,则实数取值范围是▲.解答:显然时,有。令①当时,对任意,,在上递减,,此时,

10、

11、的最小值为0,不适合题意。②当时,对任意,

12、

13、的最小值为≥1,解得:。故所求6.已知

14、函数其中e为自然对数的底.(1)当时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;标准文案实用文档(2)若函数y=f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围;(3)当b>0时,判断函数y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及相应实数b的取值范围.解:(1)记g(x)=ex-bx.当b=1时,g¢(x)=ex-1.当x>0时,g¢(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(0)=1>0,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)>0.所以当x∈(0,+∞)时,f(x)=∣g(x)∣=g(

15、x),所以f¢(1)=g¢(1)=e-1.所以曲线y=f(x)在点(1,e-1)处的切线方程为:y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.…………………………4分(没有说明“在x=1附近,f(x)=ex-bx”的扣1分)(2)解法一f(x)=0同解于g(x)=0,因此,只需g(x)=0有且只有一个解.即方程ex-bx=0有且只有一个解.因为x=0不满足方程,所以方程同解于b=.…………………………6分令h(x)=,由h¢(x)==0得x=1.当x∈(1,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增,

16、h(x)∈(e,+∞);当x∈(0,1)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(e,+∞);所以当x∈(0,+∞)时,方程b=有且只有一解等价于b=e.…………8分当x∈(-∞,0)时,h(x)单调递减,且h(x)∈(-∞,0),从而方程b=有且只有一解等价于b∈(-∞,0).综上所述,b的取值范围为(-∞,0)∪{e}.……………………………10分解法二f(x

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1、实用文档1.已知函数.(1)求函数的极值;(2)求函数的单调区间;解:(1)g(x)=lnx-x+1,g′(x)=-1=,当0<x<1时,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0,可得g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故g(x)有极大值为g(1)=0,无极小值.(2)h(x)=lnx+

2、x-a

3、.当a≤0时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+>0恒成立,此时h(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,h(x)=①当x≥a时,h(x)=lnx+x-a,h′(x)=1+>0恒成立,

4、此时h(x)在(a,+∞)上单调递增;②当0<x<a时,h(x)=lnx-x+a,h′(x)=-1=.当0<a≤1时,h′(x)>0恒成立,此时h(x)在(0,a)上单调递增;当a>1时,当0<x<1时h′(x)>0,当1≤x<a时h′(x)≤0,所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,a)上单调递减.综上,当a≤1时,h(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;当a>1时,h(x)增区间为(0,1),(a,+∞);减区间为(1,a).设,函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的最小值.解(

5、1)当时,令得所以切点为(1,2),切线的斜率为1,所以曲线在处的切线方程为:。标准文案实用文档(2)①当时,,,恒成立。在上增函数。故当时,②当时,,()(i)当即时,在时为正数,所以在区间上为增函数。故当时,,且此时(ii)当,即时,在时为负数,在间时为正数。所以在区间上为减函数,在上为增函数故当时,,且此时(iii)当;即时,在时为负数,所以在区间[1,e]上为减函数,故当时,。综上所述,当时,在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为;当时,在时的最小值为,而,所以此时的最小值为。当时,在时最小值为,在时的

6、最小值为,标准文案实用文档而,所以此时的最小值为所以函数的最小值为已知函数.(I)若,求+在[2,3]上的最小值;(II)若时,,求的取值范围;(III)求函数在[1,6]上的最小值.解:(1)因为,且[2,3],所以,当且仅当x=2时取等号,所以在[2,3]上的最小值为(2)由题意知,当时,,即恒成立所以,即对恒成立,则由,得所求a的取值范围是(3)记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.①当,即时,易知在[1,6]上的最小值为②当a<1时,可知2a-1

7、以(ⅰ)当,得,即时,在[1,6]上的最小值为(ⅱ)当,得,即时,在[1,6]上的最小值为③当时,因为2a-1>a,可知,(ⅰ)当,得,即时,在[1,6]上的最小值为标准文案实用文档(ⅱ)当且时,即,在[1,6]上的最小值为(ⅲ)当时,因为,所以在[1,6]上的最小值为综上所述,函数在[1,6]上的最小值为南京三模)14.若不等式

8、

9、≥1对任意都成立,则实数取值范围是▲.解答:显然时,有。令①当时,对任意,,在上递减,,此时,

10、

11、的最小值为0,不适合题意。②当时,对任意,

12、

13、的最小值为≥1,解得:。故所求6.已知

14、函数其中e为自然对数的底.(1)当时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;标准文案实用文档(2)若函数y=f(x)有且只有一个零点,求实数b的取值范围;(3)当b>0时,判断函数y=f(x)在区间(0,2)上是否存在极大值,若存在,求出极大值及相应实数b的取值范围.解:(1)记g(x)=ex-bx.当b=1时,g¢(x)=ex-1.当x>0时,g¢(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上为增函数.又g(0)=1>0,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)>0.所以当x∈(0,+∞)时,f(x)=∣g(x)∣=g(

15、x),所以f¢(1)=g¢(1)=e-1.所以曲线y=f(x)在点(1,e-1)处的切线方程为:y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.…………………………4分(没有说明“在x=1附近,f(x)=ex-bx”的扣1分)(2)解法一f(x)=0同解于g(x)=0,因此,只需g(x)=0有且只有一个解.即方程ex-bx=0有且只有一个解.因为x=0不满足方程,所以方程同解于b=.…………………………6分令h(x)=,由h¢(x)==0得x=1.当x∈(1,+∞)时,h¢(x)>0,h(x)单调递增,

16、h(x)∈(e,+∞);当x∈(0,1)时,h¢(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(e,+∞);所以当x∈(0,+∞)时,方程b=有且只有一解等价于b=e.…………8分当x∈(-∞,0)时,h(x)单调递减,且h(x)∈(-∞,0),从而方程b=有且只有一解等价于b∈(-∞,0).综上所述,b的取值范围为(-∞,0)∪{e}.……………………………10分解法二f(x

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