第一讲：数与式的运算

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1、初高中数学衔接教材第一讲数与式的运算教师版导语：高中数学五本必修教材（必修一~必修五），选修教材因文理不同，高一上期一般学必修一、四；下期学必修五、三、二的直线和圆部分；高二上期学必修二，下期学习选修系列。高一以代数为主，高二以几何为主，但高中数学有四大思想方法，做题始终贯穿：①数形结合；②分类讨论；③转化与化归；④函数与方程。必修一共两章：集合和函数。集合很抽象，而函数又需要用到初中许多基础知识，所以需要先复习2课时的初中知识，13课时预计上到函数中高一的特殊函数：指数函数一、绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对

2、值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．例1（1）若，则x=_________；若，则x=_________.（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.练习1下列叙述（命题）正确的是.①若，则②若，则③若，则④若，则/*命题：可以判断对错的陈述句。对的命题称为：真命题；错的命题称为：假命题。*/例2解不等式：＞4．练习2化简：

3、x－5

4、－

5、2

6、x－13

7、（x＞5）．二、二次根式1、定义：一般地，形如的代数式叫做二次根式．其中，根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等.而，，等是有理式．2、分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

8、；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程.比如，；；.3、二次根式的意义例3将下列式子化为最简二次根式：（1）（2）（3）例4　计算：．例5试比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和.【点评】高中阶段的“比大小”方法：①比较法：；②假设法（但不能写在试卷上

9、，只能帮助得到答案）：实质分析法/反证法；③构造函数（第二章中学习）例6　化简：．例7化简：（1）；（2）．练习31．填空：（1）＝；（2）若，则的取值范围是；（3）若，则．2．等式成立的条件是．（A）　（B）　　（C）　　（D）3．若，则的值为．4．比较大小：2－－（填“＞”，或“＜”）．三、因式分解例8将下列代数式因式分解：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、、；、、；（5）、；、=；（6）、；（7）、.【点评】常用的化简方法：①公式法：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式（1）平方差公式（2）完全平方公

10、式（3）立方和公式；（4）立方差公式；（5）三数和平方公式；（6）两数和立方公式；（7）两数差立方公式．/*师生交流：哪些需要证明*/②提取公因式；③十字相乘——适用二次式；④求根公式法——适用二次式；⑤待定系数法——适用高次式；⑥竖式除法（短除法）：先猜根，再用竖式除法——适用高次式.例9已知，，求的值．【点评】①目标意识；②联想；③配凑练习41.填空：（1）（）；（2）；（3）．2.若则，.3.把下列各式因式分解：（1）、、（2）、、（3）、、（4）、、=、.【反思收获】