第一讲 数与式的运算

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1、第一讲数与式的运算课程目标1.掌握去绝对值符号的运算；2.理解乘法公式，并会用于多项式运算；3.掌握二次根式的运算技巧课程重点乘法公式及其运算课程难点乘法公式的应用；根式运算教学方法建议首先学习绝对值的简单运算，绝对值不等式的解法，乘法公式；再通过经典例题知识点细致梳理，乘法公式的应用精讲精练，对不同层次学生可以分层教学，一对一可以就学生的层次有针对性的选择例题讲解。层次较好的学员可以全部讲解。选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（4）道（8）道（4）道B类（5）道（6）道（4）道C类（2）道（2）道（2）道【课题引入】在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数

2、用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式。它们具有实数的属性，可以进行运算。在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式。在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充。基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容。一、绝对值【知识梳理】绝

3、对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．8两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．【例题解析】例1.（A）（1）若，则x=_________；若，则x=_________.例2.（B）解不等式：＞4．【变式训练】1．（A）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.2．（A）选择题：下列叙述正确的是（）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则3．（B）化简：

4、x－5

5、－

6、2x－13

7、（x＞5）．二、乘法公式【知识梳理】【公

8、式1】证明：等式成立例1．（A）计算：说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列。8变式：1.（A）．2．（A）计算（a+4b-3c）2．3．（A）计算（3x+y-2）2．【公式2】(立方和公式)证明:【公式3】(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式。例2．（A）计算：例3．（B）计算：（1）（2）变式：（B）（1）（2）说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构。（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的。

9、例4．（B）已知，求的值。8说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算。请注意整体代换法。本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举。变式：（B）已知x＋=4,求x－的值例5．（C）已知，求的值。说明：注意字母的整体代换技巧的应用。引申：同学可以探求并证明：三、根式【知识梳理】般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进

10、行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2

11、．二次根式的意义8【例题解析】例1．（B）化简下列各式：(1)(2)说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论。例2．（A）计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)－+2－(3)7a－2a2+7a说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式。化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或